Динамо-машины  Системы регулирования 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 [ 137 ] 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193

ГЛАВА 15

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

sect; 15.1. Отыскание симметричных одночастотных вынужденных колебаний графическим методом

421. Определить вынужденные колебания системы, структурная схема которой изображена На рис. 285, при синусоидальном внешнем воздействии

f{t) = Bsm amp;J. (1)

Исходные данные: ft == 10 сек , 7i = 0,l сек, с =10, В = 20, Юв= 10 сек-\

f(t)

Рис. 285. Структурная схема системы и статическая характеристика нелинейного звена к задаче 421.

Решение. Составим дифференциальное уравнение замкнутой нелинейной системы. Согласно структурной схеме дифференциальное уравнение линейной части системы имеет вид

{TyPVipxkxy. (2)

Нелинейное звено может быть описано уравнением

Xy = F{x\ ... (3)

418 гл. 15. иелпнейные системы (421

где нелинейная функция F {х) задана статической характеристикой (рис. 285, б).

Подставим (3) в (2) и одновременно учтем, что

X2==f{t)-x.

Получим

{:r,p+\)px + kFix){T,p+\)pf{t). . (4)

Решение для установившихся вынужденных колебаний в системе будем искать в форме

X == йв sin ( laquo;в + ф), (5)

где laquo;d и ф -искомые амплитуда и фаза вынужденных колебаний.

Уравнение нелинейной системы (4) запишем в виде Q{p)x + R{p)F{x)==S{p\f{t), (6)

где Q{p) = S{p)=={T,p+\)p, R(p) = k. В уравнении (6) переменную f{t) выразим через переменную х. Для этого запишем

f(t)==B sin = В sin [( lt;! gt;J + ф) - ф]. =

= В cos ф sin (aj -t- ф) - В sin ф cos (atj + ф). (7;

Из (5) найдем производную

рх = йвОв cos ( laquo;в/ + ф) (8)

и, подставив (5) и (8) в выражение (7), получим окончательно

/(/) = А(еозф-р).. (9)

Подставим значение функции f(i) (9) в уравнение (6). Получим

Q{p)-S{p)-(cos-p)\x + R(p)F{x)=-0. (Ш)

Произведем гармоническую линеаризацию нелинейности F{x)q{a)x, (И)

где (7 (а) = - -коэффициент гармонической линеаризации для идеальной релейной характеристики (см. приложение 28).

4гг} gt; sect; k.t. графический метод 19

в выражение (11) вместо амплитуды а подставим искомую амплитуду вынужденных колебаний йв. Получим

f (л-) = lt;?(Ов)д:=~л:. (12)

Из (10) и (12) получаем характеристическое уравнение для первого приближения

Q{p)-SP)-l:[os-p) + R{p)q{a,) = Q. (13).

Для отыскания синусоидального решения (5) подставим в (13) p = j(i gt;B- Получим

а,Я1ЩА1Ы.Ве- lt;К (14)

При получении (14) учтено, что cos ф - / sin ф = е-ч).

Подставим в (14) выражение для Q(/ copy;b). jR(/.iub) и S(/(Ob), полученные из (6), и значение коэффициента 9 ( laquo;в) (12):

После подстановки численных значений параметров получим

й -6,67-6,67/= 20е-/р. (16)

На комплексной плоскости (рис.-286) построим годограф.

. Z(flB) = ae-6,67-6,67/, (17)

соответствующий левой части уравнения (16), и окружность радиуса В = 20, соответствующую правой части того же уравнения. Точка пересечения годографа Z( laquo;b) и окружности определяет собой решение задачи. По отметкам амплитуды Qg на годографе 2(ав) находим амплитуду вынужденных колебаний в системе йв = Лв = 25,2. Фазовый сдвиг ф = 20 deg; определяется по дуге окружности. Следует иметь в виду, что отсчет положительных значений углов, ф в данном случае производится от положительной вещественной полуоси по часовой стрелке, так как в правой части (15) ф входит с отрицательным знаком.