Динамо-машины  Системы регулирования 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 [ 45 ] 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193

41 sect; *.2. ИЗОБРАЖЕНИЯ ЛАПЛАСА И КАРСОНА - ХЕВИСАИДА j4j

Переходная функция h(t) представляет собой реакцию системы на единичное ступенчатое воздействие 1 ();

Изображение Y(p) выходной величины i/(t) замкнутой системы при задающем воздействии g{t), изображение которого равно G (р), представляет собой при нулевых начальных условиях произведение

Пр) = ф{р)с(р). - ;

Изображение единичной ступенчатой функции по Кар-

сону - Хевисайду равно 1, а по Лапласу --. Поэтому

переходная функция h{t) системы может быть получена как результат обратного преобразования по Карсону - Хевисайду передаточной функции . замкнутой системы, т. е. выражения (2), либо как результат обратного преобразования по Лапласу произведения

7()p(0.1p + p + 20) .

Для перехода от изображения (2) или (3) к искомому оригиналу h{t) необходимо знаменатель изображения разложить на множители. Для этого приравняем знаменатель (2) нулю,

Тр + р + К=.0 или 0,1/;2 + /? + 20 = 0, (4) и найдем корни полученного уравнения (4): Pi=-Y + /A.= -5-b/13,2 сек-\ р2 = - у - jl = - 5 - /13,2 сек .

Далее можно записать знаменатель выражения (2) в виде 0,1р + р + 20 = 0Мр-р{){р-р2) =

.=0,1[р-(-у + /Л)][р-(-у-/Я)] =

= 0,1[(р + yf + щ = 0,1 [(р + 5)+13,22].. (6)

Теперь вместо (3) получим

. 20 200

Р Р gt; ~ 0,1р [(р + + 13,21 р 1(р + 5)2 + 13.2 laquo;1

(5.)

142 РЛ. 4. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕ lt;;бОВ .Г174

Из таблиц изображений функций по Лапласу (см. приложение 1) подбираем формулу, соответствующую выражению (7):

PiiP+lr+Ki +WWW-

= arctg-3?. (8)

При подборе формул следует иметь в виду, что в имеющихся справочниках эти формулы располагаются в порядке возрастания степени полинома от р в знаменателе изображения.

Для случая вещественных и для случая комплексных корней всегда предусматриваются отдельные формулы. Так, если бы корни знаменателя изображения (2) оказались вещественными, следовало бы вместо формулы (8) взять табличную формулу

где lt;2 и Р - абсолютные значения корней.

Сопоставляя (7) и (8), получаем оригинал выражения (7), т. е. переходную функцию системы,

А(0 = Ф(р) =

f----е-* sin (13,2 + .69 deg; 15)

15= raquo;+13,22 13.21/52 + 13,22 V I ;

h{t) = [l- 1,068е-5sin (13,2/ + 69 deg; 15)] I (О- (9)

Замечание. Следует обратить внимание на вычисление угла я]) по формуле (8), так как знаки в формулах для я])., типичных для подобных выражений, записываются своеобразно. Знак числителя в выражении для тангенса ф является знаком синуса я]), а знак знаменателя является знаком косинуса я]). Таким образом, формула для я]) содержит указание на квадрант, в котором находится этот угол. Это позволяет освободиться от двойственности в ответе для я]), обусловленной совпадением тангенсов двух углов, отличающихсй на п.

13 2

В рассматриваемом примере, гдetg ф=--;g-=-2,64,

из двух возможных значений я]), равных -69 deg; 15 и

1781 sect; 4-2. ИаОВРАЖЕНИЯ ЛАПЛАвА И КАРСОНА-ХЕВИСАЙДА (43

4-110 deg;45, следует взять второе число, так как выраже-

.К . 13,2.

дре ф = arctg 3 = arctgуказывает, что угол иахог

дится во втором квадранте.

В результате из формулы (8) следует

sin {М - я])) = sin (13,2f - 110 deg;45) = - sin (13,2/ + 69150,

что и учтено при записи выражения (9).

Функция веса w (t) системы может быть найдена как производная переходной функций (9) по времени.

Функция веса может быть найдена и непосредственно по передаточной функции (2), как ее обратное преобразование по Лапласу,

(0 = t(p)b-[o.lpfp-b2o]

L(P +5)2+13.22 J.

(10)

либо как обратное преобразование по Карсону - Хевисайду произведения

Р Р 0,1р2 + р + 20 (р+ 5)2+13.22

Подбираем из таблиц изображений функции Лапласу формулу соответствующую (10):

j-JLe-ysinU. (12)

Согласно (7), (10) и (12) получаем функцию веса системы ffi;(0=l5,I5e- laquo;sinI3,2/ I (i). (13)

175. Для замкнутой системы автоматического регули рования, данной в предыдущей задаче, найти закон изменения выходной величины у({) при отсутствии задающего воздействия, начальном рассогласовании у(0) = о и нулевой начальной скорости.

Решение. Согласно уравнению (2) предыдущей задачи, дифференциальное уравнение замкнутой системы Имеет вид

(V + p-t-/C)#(0.=/Cg(0, (1)