www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе |
Динамо-машины Системы регулирования
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 [ 89 ] 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193
ГЛАВА 7
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
sect; 7.1. Вычисление корреляционных функций и спектральных плотностей
292. Определить корреляционную функцию /?(т) и спектральную плотность S( lt;o) для величины, изменяющейся по гармоническому закону
л-=/4 sin (р + оо .
Л sin (р/ + я)?) sin (р/ + Рт -1- г]?) = cos рт,
где Го = -р-. Подстановка исходных данных дает (t) = 50cos2t, а также /?(0) = 50.
е- cos Рт dt =
cos ют cos рт dx =
[cos (ft) - р) т + cos (ft) + р) т] d% =
[6(ft)-p) + 6( copy; + P)].
где б (ft) - р) и 6 (ft) + Р) - единичные импульсные функции, расположенные при частотах (о = р и ft)= - р.
Интегрирование спектральной плотности по всем частотам дает
+ 00
+ 00
S (ft)) cfft) =
[б((о-р)-Ьб( copy;-Ьр)] d copy;.
Интегралы от единичных импульсных функций равны единице,
[ 6( copy;-p)rf copy;= J 6( copy;-fp)d copy;=l.
Поэтому в результате получаем
+ 00
2я J
S( copy;)d copy; = = - = 50.
293, Для стационарного случайного процесса, имеющего постоянный спектр в полосе от - copy; до Л- laquo; gt; (рис. 176), вычислить среднее значение (математическое ожидание), средний квадрат (момент второго порядка) и дисперсию, а также найти аналитическое выражение й построить график корреляционной функции.
Спектральная плотность может быть вычислена на основе интеграла Фурье [2]:
- Решение. Среднее значение случайной величины равно нулю Jc = 0, так как спектральная плотность не содержит при (0 = 0 особенностей типа импульсной функции (дельта-функции). В результате дисперсия равна среднему квадрату случайной величины
D==x - x = x = o,
где а -среднеквадратичное отклонение. Далее находим
+ 00
S (ю) da =
N Аы 2я
где Дю = 2(йп - полоса частот (в радианах в секунду). Последняя, формула может быть записана также в следующем виде:
=D = NAf,
где Д/ = ~ - полоса частот (в герцах). Среднеквадратичное значение случайной величины
-CD
Рис. 176, Белый спектр в ограниченной полосе частот.
ск = (Т=УТУ/Д/,
. Корреляционная функция может быть определена на основе интеграла Фурье [2]:
Ч-оо со
i?(t) = -~- j 5.((о)е/* d copy; = - J S(cu)cosft)Tda)
-оо о
R{x)-
cos ют dm = - sin copy; т.
График корреляционной функции изображен на рис. 177. Значение корреляционной функции при т = 0 равно
/?(0) = lim-sin laquo;. T = - = D.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 [ 89 ] 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 |