www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Радионавигационные системы, спутниковая радионавигация 

1 2 3 4 5 6 7 [ 8 ] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67

ным НИСЗ. Ради придания системе (3.5) однородности целесообразно привести все разности к безразмерному виду Для этого левые и правые части системы (3.5) домножаются на весовые коэффициенты, имеющие размерность, обратную размерности R - Ror. к f . Р шую

р, = hi /Oi,

(3.11)

где а\ - дисперсия погрешностей измерения НП, а /г, - некоторый масштабирующий коэффициент. В результате, учитывая обозначения (3.10), получаем безразмерную систему уравнений

Р =Р () + Р + Р () =Р

3.12)

которую именуют системой условных уравнений

Ьсли из весовых коэффициентов р, образовать диагональну

матрицу {ПХП) ГУ МП льну

(3.13)

то выполненное домноженне левых и правых частей системы уравнений на весовые коэффициенты можно представить как матричные операции умножения, приводящие к матричному виду системы условных уравнений:

РоР = РоСЛ. (3.12)

Далее к системе условных уравнений применяют процедуру метода наименьших квадратов, основанную на следующих соображениях. Система (3.12) является системой п уравнений с тремя неизвестными. Если только эти п уравнений независимы, то какая-то совокупность трех поправок 6, не .может удовлетворить этой системе и при подстановке 6, в соответствующие уравнения левые и правые их части окажутся неравными, появится невязка этих частей. Обозначив разницу (невязку) через е,(/ = = 1, 2,..., п), получим новую запись

р. г..

Ее матричным эквивалентом явится выражение Е = Ро СЛ - Ро R,

(3.14)

(3.14)

в котором использовано представление о совокупности невязок как матрице-столбце размерности (иХ1):

(3.15)

пХ 1

Важным обстоятельством является то, что невязки предполагаются случайными величинами. Метод наименьших квадратов позволяет найти такие наилучшие поправки к координатам б при которых сумма квадратов невязок е, минимальна:

У = S e = min.

(3.16)

Сказанному можно дать геометрическое истолкование, которое сохраняет наглядность при малой мерности пространства определяемых параметров и малом числе измерений. Примем поэтому т = 2 и л = 3 и выполним следующее построение (рис. 3.1).

В пространстве т = 2 относительно точки с априорными координатами (фо, Я-о) построим ортогональный базис поправок бф -бх, оси которого параллельны соответственно осям ф и Тогда система трех линейных уравнений вида (3.5), отвечающих трем результатам измерений, Слбф--С,2бх = л ( = 1, 2, 3, формально-геометрически может интерпретироваться как совокупность трех прямых /?ь /?2 и Ri, касательных к линиям положения в окрестности априорного места (фо, Хо). Эти линии отстоят от начала координат на расстояния, равные разностям измеренных и расчетных значений параметров г\, Г2 и Гз, причем в случае безошибочных измерений все они пересекались бы в одной точке - истинном месте П. Влияние ошибок приводит к тому, что пересечениями этих прямых образуется треугольная область аЬс возможного нахождения объекта. Оптимизация решения, предусматриваемая методом наименьших квадратов, состоит в отыскании точки, наивыгоднейшим образом удаленной от всех трех касательных, чему соответствует минимальность суммы квадратов невязок е?, eI и eI. Эта точка дает оценки искомым поправкам бф и б.



Рис 3 1 Геометрическое истолкование Рис. 3.2. Ортогональное проектирование оптимизацин по методу наименьших вектора R в пространстве измерении

квадратов



Геометрическое толкование выражений (3.14), (3 14t удобно пять r r,n странстве измерений. Для этого построим координаый базис в осях разностей л г, и г, (рис. 3.2). Для рассматриваемого случая матпипа гГб? имея размерность (3X2), может распасться на два векторГ

С, =

и С, =

dX, dR,

которые можно истолковать как своеобразные базисные векторы пространства частных производных dRi/dqoi, заданные в пространстве измерений. Сориентировав по этим векторам произведения Ci6,j и Сгб;., можно путем суммирования получить в данном базисе вектор матричного произведения СД. В то же время в базисе ri, Г2, Гз вектор измерений R фиксируется так, что разность СА -R дает вектор Е, который в соответствии с (3.14) представляет собой вектор невязок. Можно показать, что вектор невязок Е будет ортогонален любому вектору СЛ из базисного подпространства параметров подпространства, заданного векторами Ci и Сг- Значит, при оптимизации методом наименьших квадратов проводится ортогональное проектирование вектора измерений R на подпространство параметров. Дальнейшее разложение этой проекции СЛ по базисным осям бф и бд пространства определяемых параметров дает оценки искомых поправок б lt;р и 6х.

Аналитически минимизация суммы квадратов невязок связана со следующими вычислениями. Условие (3.16) распадается на три условия:

аУ/аб,=0, dV/db2 = 0 и dV/dbi = 0. (3.17)

Вычислим в соответствии с (3.17) значения частных производных функционала V по поправкам б;. Дифференцирование V по первой поправке б) дает

= 22 Гр?2б,]-р;

откуда следует, что

V dR, sr dR,

= О,

(3.18)

Аналогично этому дифференцирование функционала V по поправкам б, и бз дает выражения, подобные (3.18) с той раз ницеи, что в повторяющемся в каждом члене сомножителе

производные будут браться соответственно по qo2 и оз- Совокупность всех полученных в результате дифференцирований выражений даст систему трех уравнений с тремя неизвестными б, бг и 63. Если коэффициенты при неизвестных обозначить через Qkj, а коэффициенты при правых частях уравнений через Ьк, то полученную систему, именуемую системой нормальных уравнений, можно записать в следующем виде:

ал б -Ь ai2 62 -Ь а\з 63 = 61,-

021 61 -(- 022 62 -j- an 63

аз1 б -f аз2 62 + азз бз

= bЛ

(3.19)

. = 2р?

dR, dR,

, = 2p?

dR, dQok

(3.20)

(3.21)

Выражения (3.19) - (3.21) представляют собой принципиальный алгоритм обработки результатов измерений /?, для определения поправок б, к априорно известным пространственным координатам goj. Таким образом, при решении навигационных задач методом наименьших квадратов по существу решается система линейных нормальных уравнений (3.19), коэффициенты которой Ukj на первом итерационном цикле вычисляются по априорным данным, а коэффициенты bk на том же цикле - как по априорным сведениям, так и по результатам измерений. Начальными значениями координат для каждого последующего цикла принимают начальные значения предыдущего цикла, исправленные на величины оцененных поправок.

Для выражения коэффициентов а. и 6 в литературе часто применяется введенная Гауссом символика, избавляющая от необходимости пользоваться знаком суммирования по индексу числа измерений;

2 Pfr,c = [prcl

(3.20)

(З.2Г

Коэффициенты Okj системы нормальных уравнений используют при оценке точностных свойств навигационных методов. Как было отмечено в sect; 2.4, градиентная и фундаментальная матрицы отражают видовые и общие свойства методов измерений, а совокупность коэффициентов atj выражается как раз через элементы этих матриц (см, гл. 16).



II л г.

РоС =

Р .р

(3.22)

... ор

Р .ф

Р ад,

Р ,5ф

Рп

Р 6Х

Рп

Р

Рп

(3.23)

-.v, Hiu совокупность коэффициентов laquo; n 9m ни чем иным, как ппоичвепри,.,. ( ЗО) является (3.23) а исходную Ь 22? з; матрицы

матрицы размерности (3 X 3) произведение в виде

СРоРоС =

2SRi lt;iR, V 2 R. dR,

fA dtp P ~i5i йф

F , p, 2j p,

2 / Ri

;зх.з)

(3.24)

Обозначим матрицу коэффициентов системы нормальных уравнений через А==а*,. Тогда из сопоставления (3.20) и (3.24) следует матричное равенство

А=СРоР,)С. (3.25)

Заметим, что весовая матрица Pq была определена как (3.13) ради придания системе условных уравнений безразмерных свойств. Но поскольку Ро - диагональная матрица, ее вид при транспонировании не меняется, а следовательно, произведение РоРо дает также диагональную матрицу Р, элементы которой являются квадратами элементов матрицы Р; 56

/22(02)

(3.13)

Ввиду этого

А=СРС. (3.25)

Обратившись к правым частям системы bi обнаружим, что их матрица получается в результате перемножения матриц С Pj размерности (3 X laquo;) (3.23) и Ро R (и X 1):

С р; Ро R=

2 pf г,

2 Pi п

dip dR,

2 Pi п

Обозначив матрицу правых частей через В, запишем очевидное равенство B = CPR.

Таким образом, система нормальных уравнений в матричном виде

СРСЛ=СРР, (3.26)

или сокращенно

АА = В

(3.27)

Полученная выше матрица коэффициентов lt;2*, имеет размерность (3X3), что связано с трехмерным характером решаемой навигационной задачи. В случае определения шестимерного вектора состояния П составляется система 6 нормальных уравнений и матрица А будет иметь размерность (6X6).

Вопросы решения системы нормальных уравнений, сходимости итерационных решений, а также особенности решений прн использовании иных критериев оптимальности рассмотрены подробно в гл. 13 и 14. Здесь же уместно остановиться на том, как элементы матрицы А используются для оценки точности навигационных определений.

Упомянем, что один из способов решения системы (3.26) связан с обращением матрицы А. Дело в том, что, умножая левую и правую части системы (3.27) слева на обратную матрицу А , можно получить в явном виде решение для поправок; Д = АВ.



1 2 3 4 5 6 7 [ 8 ] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67