Динамо-машины  Обратные коды 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [ 11 ] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189

Таким образом, число, записанное по двоично-пятеричной системе,

П020А, 01121000D3 (где курсивом выделены двоичные цифры, прямые цифры - пятеричные) может быть представлено в виде

1-500+1-100 +0.50 +2-10+ 0.5+ 4-1+ 0. + 1- +

11 1 1 1 1 -

+ 1 20 + 100 + 2Ш + ТШ + deg; 2000 + deg; 10000 +

+ 0- И + 3 ШШ)= (624,17503),о (ср. С 1.2.4).

Из приведенного определения естественного порядка весов вытекают следующие рекуррентные формулы. Если естественный вес некоторого t-ro разряда обозначить через б/, а количество допустимых символов в нем через п/, то для разряда, находящегося слева от данного разряда,

для разряда, находящегося справа от данного разряда,

прав п,

прав

Этд формулы справедливы и для целой, и для дробной части числа. Так как в дробной части числа нумерация разрядов идет слева направо, а в целой части - справа налево, то в дробной части числа /лев = i - 1, laquo;прав =

= t-j-l,B целой части числа наоборот. Впрочем, рекуррентные формулы справедливы и при переходе от первого разряда дробной части к первому разряду целой части и наоборот.

Задавшись для некоторого (t-ro) разряда произвольным весом б; (может быть, отличающимся от его естественного веса бг), можно затем воспользоваться рекуррентными формулами для определения весов всех остальных*разрядов

...,б, з, б/ 2. б/+1, бг+2. 6/+3,...; при этом будет получена система изображения чисел, которая во всем сходна с позиционным изображением чисел с естественными весами разрядов, но в которой все числа как бы умножены на

постоянный коэффициент. Если разрядам числа приписаны какие-нибудь другие веса, не соответствующие приведенному определению, то такие веса разрядов называются ыс-кусственными.

1.3.2. Некоторые свойства позиционного способа представления чисел с естественными весами разрядов. Рас-, сматриваемый способ представления чисел сыграл выдающуюся роль в развитии методов вычислений в период до появления электронных цифровых машин. В значительной мере важность его сохранилась и в настоящее время. Мы рассмотрим сейчас основные свойства этого способа изображения чисел.

Прежде всего должен быть разобран вопрос о том, какие числа могут быть поставлены в соответствие цифрам. Вышг мы предполагали, что различным цифрам п-ичной системы счисления соответствуют числа О, 1, 2,..., (п - 1). Однако в разделе 1.1 указывалось, что этот выбор не является единственно возможным.

Выбор чисел, которые ставятся в соответствие цифрам (в дальнейшем для краткости мы говорим laquo;выбор цифр raquo;) должен обеспечить выполнение следующих очевидных требований:

(1) если система счисления однородна, то одни и те же цифры должны употребляться во всех разрядах числа;

(2) при ограниченном количестве разрядов т и определенных весах разрядов*) все числа, которые можно представить с помощью этих разрядов при выбранном наборе цифр, должны располагаться на числовой оси через равные интервалы;

(3) среди чисел, представленных ограниченным количеством разрядов т при помощи выбранного набора цифр, должно содержаться число нуль;

(4) условия (2) и (3) должны соблюдаться при любом ограниченном количестве разрядов т.

) Веса разрядов должны быть естественными. Свобода в выборе здесь имеется только в том отношении, что запятая в указанных разрядах может располагаться различно. Определив положение запятой, мы тем самым определим и веса всех т разрядов.

Заметим еще, что умножение всех цифр на некоторый масштабный множитель М приводит к умножению на М всех чисел, записанных с помощью указанного набора цифр.

Можно показать, что для того, чтобы набор цифр удовлетворял четырем перечисленным условиям, необходимо и достаточно (с точностью до масштабного множителя), чтобы цифрам был поставлен в соответствие отрезок натурального ряда, включающий число 0. -

Например, в двоичной позиционной системе счисления с естественными весами разрядов в качестве цифр могут быть выбраны либо числа - 1, О, либо числа О, +1. Однако эти два набора отличаются один от другого только масштабным множителем -1 и, следовательно, по существу идентичны. Таким образом, в двоичной системе выбор цифр для позиционного способа изображения чисел с естественными весами разрядов может быть сделан единственным способом с точностью до масштабного множителя.

В троичной системе цифрам могут быть приписаны либо значения -2, -I, О, либо значения -1, О, +1, либо значения О, 4-1, 4-2. Но первый и третий из возможных наборов различаются лишь масштабным множителем -1. Следовательно, в троичной системе возможны два существенно различных набора для изображения чисел позиционным способом с естественными весами разрядов.

Вообще в п-ичной системе счисления выбор цифр, пригодных при использовании позиционного способа изображения чисел с естественными весами разрядов, может быть сделан либо (п + 1)/2 различными способами (если п нечетно), либо /г/2 различньши способами (если п четно).

Доказательство приведенного правила выбора цифр сводится к следующему. .Сначала доказывается, что для соблюдения условий (1) и (2) необходимо и достаточно, чтобы в качестве цифр были выбраны числа, отстоящие одно от другого на равные интервалы. Это требование не налагает пока никаких ограничений на выбор цифр для двоичной системы счисления. Далее доказывается, что условие (3) могло бы выполняться и без того, чтобы одна из цифр