Динамо-машины  Обратные коды 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [ 13 ] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189

Но если бы количество разрядов было бесконечно велико, такое возражение отпало бы. При этом разрядную сетку достаточно только не ограничивать справа.

Представим себе, например, что разрядная сетка начинается, скажем от третьего разряда слева от запятой (т. е. от разряда с весом 4), а вправо простирается неограниченно. Тогда с помощью цифр 1, 1 число нуль можно записать в виде

ТП, III ...

(Целая часть этого числа равна единице;

ПТ. = 1х4 + (-1)х2-ь(-1)х1; дробная часть равна минус единице:

.пт...=(-1) -4+(-1) 4+(-1) .4-+...=-1.)

Иначе число нуль можно записать так:

111, 111 . . .

При бесконечном количестве разрядов неоднозначность изображения имеется и для других чисел.

Оборвем теперь снова разрядную сетку на каком-либо разряде - скажем, на разряде с весом 2-* {k-й разряд дробной части числа). Ясно, что погрешность, которая вносится при этом в любое из чисел (величина отброшенной части числа), может быть заключена в пределах от

.00 ... 00 111 ... = -2-

k разрядов

.00 ... 00 111 . . . = -f 2-*.

k разрядов

Точного изображения нуля мы, конечно, не получим, но с указанной степенью точности нуль можно будет записать.

Удобнее, однако, подойти к этому вопросу несколько иначе. Можно условиться, что для всех чисел, записанных оставшимися разрядами разрядной сетки, laquo;отброшенная raquo;

часть имеет вид

.00. . .00 Ш ... = -

k разрядов

Тогда любое число, записанное оставшимися разрядами, фактически увеличено на 2-*. Далее, для того чтобы получить истинное значение какого-либо числа, нужно будет вычесть 2-* из числа, представленного оставшимися разрядами разрядной сетки. Величина -2~* будет играть роль постоянной аддитивной поправки по всем числам. При этом и для числа нуль мы будем иметь точное изображение.

Обрывая разрядную сетку на разряде с весом 2~*, нужно иметь в виду, что ближайшие по величине числа будут отстоять одно от другого не на величину 2- (как было бы, если бы мы пользовались цифрами 0,1), а на величину 2 -2-*. Это видно из того, что, изменяя цифру разряда с весом 2- с О на 1, мы меняем число на величину 2-*; изменяя же цифру того же разряда с 1 на I, мы меняем число на величину - (-1)-2-*1 2-*, т. е. вдвое большую. Поэтому, используя цифры I, 1 и желг.я получить заданный интервал между ближайшими числами, мы должны обрывать разрядную сетку на один разряд правее, чем в том случае, когда используются цифры 0,1. Но это, как мы сейчас увидим, не ведет к увеличению общего количества разрядов при той же точности вычислений..

Пусть, например, мы хотим оперировать с целыми числами, отстоящими друг от друга на единицу. Если бы мы пользовались цифрами О, 1, разрядную сетку нужно было бы оборвать на первом слева от запятой разряде. При использовании цифр 1, 1, как сказано выше, разрядную сетку нужно оборвать на первом разряде с п р а в а от запятой.

В таблице 1-4 приведены числа, записанные с помощью оставшихся разрядов (старшим, как мы условились выше, является третий слева от запятой разряд). Аддитивная поправка для всех чисел в этом случае, очевидно, равна -2~. Ясно, что, имея больше разрядов, можно было бы аналогичным образом записать и большие числа. При этом, хотя в изображении чисел имеется один laquo;лишний raquo; разряд справа (по сравнению с изображением чисел цифрами 0,1),

Таблица 1-4

Целые числа, записанные двоичной системой с цифрами I, 1

зато нет необходимости в специальном разряде алгебраического знака. Таким образом, лишних затрат оборудования нет.

Легко убедиться, что числа, приведенные в таблице 1-4, записаны в действительности в символической системе. Предположив противное, мы могли бы обозначить веса разрядов через х, jcg, Xg, х соответственно. Тогда согласно таблице 1-4 числа х, х, Xg, х должны были бы удовлетворять следующим 16 уравнениям:

- Xi - X2 - Xs - Х4 - - о,

- Хг -ЛГа -Хз +Х4 = -7,

+ Xi + Х2 + Хз + Х4 = + 7.

Сравнивая, например, первое уравнение с последним, нетрудно видеть, что эти уравнения несовместны.

С другой стороны, и правила округления, и правила счета здесь такие же, как при позиционном способе изображения чисел. Эти правила одинаково справедливы и