Динамо-машины  Обратные коды 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [ 14 ] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189

для положительных, и для отрицательных чисел. В разделе 1.4 мы увидим, что при обычной двоичной записи чисел (с использованием цифр 0,1) получить одинаковые правила счета для положительных и отрицательныхисел не очень просто. Используя запись чисел цифрами 1,1, можно, например, начать счет от какого-нибудь отрицательного числа и, многократно применяя правило прямого счета, выбирать последовательные числа в порядке возрастания, причем переход через нуль не потребует никаких изменений в выполнении операций.

Точно так же и правила выполнения других операций оказываются одинаковыми при любых сочетаниях алгебраических знаков чисел. Например, сложение двух положительных чисел и сложение положительного числа с отрицательным при использовании рассматриваемого способа изображения чисел выполняются по одним и тем же правилам.

В этом, собственно, и состоит основное преимущество рассматриваемого способа изображения чисел. Указанный способ, вероятно, никогда не применялся самостоятельно; но во многих случаях в арифметических устройствах вычислительных машин числа, записанные первоначально обычньм способом, в ходе выполнения тех или иных операций преобразуются в указанную форму, или результаты получаются в указанной форме и затем преобразуются в обычную запись. Впрочем, не видно каких-нибудь причин, по которым рассматриваемый способ изображения чисел не мог бы использоваться в качестве основного, а не вспомогательного.

Переход от позиционного двоичного изображения чисел с естественными весами разрядов и цифрами О, 1 к записи чисел цифрами 1, 1 выполняется по очень простым правилам. Для положительных чисел правило перехода следующее:

(1) приписать к позиционной записи числа цифру I слева;

(2) сдвинуть код числа на один разряд вправо;

(3) заменить все цифры laquo;О raquo; цифрами laquo;1 raquo;. Например, для целого положительного числа -f-5 = (lOl) переход к записи цифрами I. 1 совершается по этому

правилу так: \

(1) loi.vnoi.

(2) 1101.110,1

(3) 110,1- gt; 111,1

Правильность полученного результата можно проверить по таблице 1-4. Однако читатель мог бы проверить приведенное правило преобразования и в общем виде.

Для отрицательных чисел между операциями (1) и (2) необходимо осуществить преобразование числа в дополнительный код. Смысл этой операции поясняется в разделе 1.4; формально же она состоит в следующем:

(1а) заменить все цифры laquo;О raquo; цифрами laquo;1 raquo; и все цифры laquo;1 raquo; цифрами laquo;О raquo;;

(16) добавить к полученному числу единицу младшего разряда (т. е. перейти от него к ближайшему большему).

Например, для целого отрицательного числа -5 = (-101)а переход к записи цифрами Г, 1 совершается по этому правилу так:

(1) 101.-1101.

(1а) 1101.0010.

(16) 0010 + 0001 = ООП. : (2) ООП.- gt; 001,1

(3) 001,1- gt; 111,1

Переход от записи чисел цифрами 1,1 к обычной двоичной записи чисел (позиционным способом с естественными весами разрядов и цифрами О, 1) может быть выполнен в обратном порядке.

Аналогичньм образом может быть построена, например, десятичная система с цифрами-9, -7, -5,-3, - 1,1, 3, 5, 7, 9 вместо обычных цифр О, 1, 2,...,9. Преимущества и свойства ее аналогичны преимуществам и свойствам рассмотренной двоичной системы с цифрами 1,1.

С другими примерами способов изображения чисел, близких к позиционному изображению с естественными весами разрядов, мы встретимся в разделе 1.4, а также в разделе 4.

1.3.4. Один из символических способов изображения чисел - запись чисел в остатках. Несмотря на то, что позиционные способы изображения чисел с естественными весами разрядов и близкие к ним системы имеют ряд очевидных достоинств, в настоящее время продолжаются поиски новых способов изображения чисел, которые позволили бы достигнуть тех или иных преимуществ в скорости выполнения операций или в количестве оборудования или в других отношениях. Символические способы изображения чисел чрезвычайно разнообразны; какой-либо системы в их исследовании нет, и трудно предсказать, к каким результатам могут привести эти поиски. Ниже рассматривается одна интересная находка среди символических способов изображения чисел.

1 . Предположим, что вычислительная машина должна оперировать с N целыми числами (от о до Л/ - 1). Выберем несколько взаимно простых чисел s, s,..,-Sm с таким расчетом, чтобы их произведение было не меньше :

Далее каждое число можно будет однозначно записать остатками от деления на s, s,...,Sm- При этом в первом разряде числа, дающем остаток от деления на s, может быть % различных цифр (от о до Si - 1), во втором разряде числа (остаток от деления на Sg) может быть Sg различных цифр (о, 1,..., laquo;2 - 1) и т. д. Таким образом, мы будем пользоваться смешанной системой счисления с различными основаниями для каждого из разрядов.

Пусть для примера N = 30. (В действительности, конечно, количество различных чисел, с которыми должна . оперировать вычислительная машина, обычно во много раз больше.) Тогда в качестве взаимно простых чисел s, s,... могут быть выбраны наименьшие простые числа 2, 3 и 5. Условие ssSg gt; N при этом выполняется (2x3x5 = =30). Запись всех 30 чисел в остатках отделения на 2, 3 и 5 приведена в таблице 1-5. В этой таблице правая цифра в записи числа дает остаток от деления на 2, средняя - остаток от деления на 3, а левая цифра - остаток от деления на 5; впрочем, можно было бы избрать и любой другой порядок записи разрядов.