www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Обратные коды 

1 [ 2 ] 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189

комбинацией из пяти таких знаков. В дальнейшем мы часто будем встречаться с кодированием десятичных цифр, в котором используются два знака.

4 deg;. Важнейшей особенностью используемой нами системы представления чисел является. то, что это система позиционная. Это означает, во-первых, что каждой цифре поставлено в соответствие некоторое число и, во-вторых, что каждому разряду приписан определенный вес. Любое число, записанное в- позиционной системе, равно сумме чисел, соответствующих его цифрам, взятых с весами, соответствующими разрядам, в которых стоят эти цифры.

В применяемой нами повседневно системе представления чисел десяти цифрам поставлены в соответствие десять начальных неотрицательных чисел натурального ряда (включая нуль). Веса разрядов в целой части числа равны 1, 10, 100 и т. д., в дробной части Vio, Vioo, Viooo и т. д. Поэтому, например, число 3986,125 равно 3986,125 = =3 1000+ 9 100+8 10+6 1 +1 Vio+2 Vioo + 5Viooo- Аналогичным образом при использовании, например, двоичной системы счисления большей частью считают, что двум возможным цифрам поставлены в соответствие числа О и 1, а веса разрядов в целой части числа равны 1,2,4, 8 и т. д., а в дробной части U, V4, Vs и т. д. Поэтому, например, число 11001, 1011 равно

11001, 1011 = Мб + 1-8 + 0-4 + 0-2 + Ы + 1-Ч2 + + 0-V4+ 1-V8+ 1-Vie = (25 /1б)1о.

Вообще в позиционной системе счисления с основанием п цифры большей частью соответствуют числам О, 1, 2,..., (п- 1), а веса разрядов равны: в целой части числа 1, п, rf,..., в дробной части - п~, п ,... Однако ни указанный выбор чисел, поставленных в соответствие цифрам, ни указанный выбор весов разрядов не являются обязательными для позиционных систем. Те веса, которые приняты выше для различных разрядов, называются естестеенньши; но возможен также и искусственный порядок весов. Более точные определения этих понятий будут даны в разделе 3.1,1.

Наряду с этим возможны и символические системы, в которых цифры вообще являются символами, каждый из которых в отдельности никак не связан с каким-либо чис-



лом; определенным комбинациям цифр условно поставлены в соответствие определенные числа. Ясно, что при этом и о весах разрядов не имеет смысла говорить. Мы встретимся также и с такими системами, в которых каждой цифре поставлено в соответствие некоторое число, но значение любого числа, записанного в этой системе, получается не-суммированием цифр с определенными весами, а по более сложному закону; такие системы мы тоже будем относить к символическим.

Очевидно, что позиционный характер применяемой на- ми системы изображения чисел и выбор естественных весов разрядов существенным образом влияют на методику выполнения арифметических действий над числами, делая ее особенно простой и удобной для ручных вычислений. Однако для машинных вычислений и для некоторых специальных целей имеет смысл поискать, может быть, более удобные системы как среди позиционных систем с искусственными весами, так и среди символических систем.

Интересно отметить, что разделение числа на целую и дробную части имеет смысл вообще только в позиционной системе. Для указания границы целой и дробной частей мы применяем обычно специальный знак - запятую. Но когда речь пойдет об изображении чисел в вычислительной машине, этот способ нам придется пересмотреть.

5 deg;. В качестве одной из особенностей обычного метода изображения чисел отметим еще, что в изображении отрицательных чисел записывается обычным порядком абсолютная величина числа, а перед ней ставится знак laquo;минус raquo;. Такой способ называют прямым кодом для отрицательных чисел. Наряду с этим существуют и другие способы записи отрицательных чисел, с которыми мы познакомимся в разделе 1.4. и которые, как мы увидим, иногда удобнее при использовании в вычислительных машинах.

1.2. Основание системы счисления

1.2.1. Исходаые положения. В настоящее время общепринятым является следующее определение основания системы счисления: основанием системы счисления называется количество различных символов {цифр), допустимых для каждого из разрядов. Очевидно, что при этом основанием



системы может быть любое целое положительное число, большее единицы.

Наряду с приведенным автором предлагалось*) и более общее определение, которое понадобится нам при исследовании некоторых методов ускорения умножения (см. раздел 4.4). Основанием системы счисления предлагается называть такую величину, логарифм которой равен количеству информации, приходящемуся на один разряд числа; при этом все числа (все допустимые комбинации цифр) считаются равновероятными; основание, по которому берется логарифм, должно соответствовать единице измерения количества информации.

Читатель, который уже знает, что такое laquo;количество информации raquo;, легко сообразит, что:

если все комбинации цифр допустимы, т. е. если любой возможной комбинации цифр соответствует какое-нибудь число, а все числа равновероятны, то для любого из разрядов числа все цифры тоже оказываются равновероятными и независимыми от цифр других разрядов; если различных цифр имеется п и все они равновероятны, то количество информации, заключенной в некотором разряде числа, равно одному п-ичному разряду; число, логарифм которого по основанию п равен единице, есть само п; следовательно, в этом случае старое и новое определения совпадают;

если не все комбинации цифр допустимы, то при наличии п различных цифр на каждый разряд числа будет приходиться менее одного п-ичного разряда информации; в соответствии с новым определением основание системы счисления будет меньше п; в частности, оно может оказаться и неправильной дробью (вообще любым действительным числом, большим -fl).

Если читатель незнаком с понятием количества информации (оно рассматривается в разделе 1.7.), то ему придется вернуться к двум предыдущим абзацам при чтении раздела 4.4.

Во всех других разделах книги и вообще всегда, когда это не оговорено

) К а р ц е в М. А. и Г л и в е н к о Е. В., Дробные основания системы счисления и их использование для ускорения операций в цифровых машинах. Сб. laquo;Colloquium on the Foundations of Mathematics, Mathematical Machines and their Applications)), Будапешт, 1965.



1 [ 2 ] 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189