www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 [ 10 ] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

Автокорреляционная функция стационарного в широком смысле процесса, принимающего действительные значения, имеет следующие свойства:

1. Rx(y) = Rx(- lt;) симметрия по т относительно нуля

2. Лх(х) Rx(0) для всех т максимальное значение в нуле

3. Rxiz) Gx(f) автокорреляция и спектральная плотность мощности

являются Фурье-образами друг друга

4. Лл lt;0) = Е{Х\0} значение в нуле равно средней мощности сигнала 1.5.3. Усреднение по времени и эргодичность

Для вычисления шх и Ryx) путем усреднения по ансамблю нам нужно усреднить их по всем выборочным функциям процесса, и, значит, нам потребуется полная информация о взаимном распределении функций плотности вероятности в первом и втором приближениях. В общем случае, как правило, такая информация недоступна.

Если случайный процесс принадлежит к особому классу, называемому классом эргодических процессов, его среднее по времени равно среднему по ансамблю и статистические свойства процесса можно определить путем усреднения по времени одной выборочной функции процесса. Чтобы случайный процесс был эргодическим, он должен быть стационарным в строгом смысле (обратное не обязательно). Впрочем, для систем связи, где нам достаточно стационарности в широком смысле, нас интересуют только среднее и автокорреляционная функция.

Говорят, что случайный процесс является эргодическим по отношению к среднему значению, если

/Пу = lim 1/ Г

-г/2

(1.35)

Xit)dt,

и эргодическим по отношению к автокорреляционной функции, если

(1.36)

Лх(х)= lim 1/Г Xit)Xit + z)dt.

-r/2

Проверка случайного процесса на эргодичность обычно весьма непроста. На практике, как правило, используется интуитивное предположение о целесообразности замены средних по ансамблю средними по времени. При анализе большинства сигналов в каналах связи (при отсутствии импульсных эффектов) разумным будет предположение, что случайные сигналы являются эргодическими по отношению к среднему значению автокорреляционной функции. Поскольку для эргодических процессов средние по времени равны средним по ансамблю, фундаментальные электротехнические параметры, такие как амплитуда постоянной составляющей, среднеквадратическое значение и средняя мощность, могут быть связаны с моментами эргодического случайного процесса.

1. Величина mx=E.{X(f)} равна постоянной составляющей сигнала.

2. Величина ml равна нормированной мощности постоянной составляющей.



3. Момент второго порядка X(t), EfXiCO}, равен полной средней нормированной мощности.

4. Величина д/е{Х(/)} равна среднеквадратическому значению сигнала, выраженного через ток или напряжение.

5. Дисперсия о/ равна средней нормированной мощности переменного сигнала.

6. Если среднее процесса равно нулю (т.е. тх = тх =0), то о/ = Е{Х}, а дисперсия равна среднеквадратическому значению или (другая формулировка) дисперсия представляет полную мощность в нормированной нафузке.

7. Среднеквадратическое отклонение является среднеквадратическим значением переменного сигнала.

8. Если Шх = О, то Сх - это среднеквадратическое значение сигнала.

1.5.4. Спектральная плотность мощности и автокорреляционная функция случайного процесса

Случайный процесс Xit) можно отнести к периодическому сигналу, имеющему такую спектральную плотность мощности G(/), как указано в уравнении (1.20). Функция GxiD особенно полезна в системах связи, поскольку она описывает распределение мощности сигнала в диапазоне частот. Спектральная плотность мощности позволяет оценить мощность сигнала, который будет передаваться через сеть с известными частотными характеристиками. Основные свойства функций спектральной плотности мощности можно сформулировать следующим образом:

1. Gx(f) О всегда принимает действительные значения

2- Gx(/) = Gx{-f) для Х(г), принимающих действительные значения

3. Gxif) lt;- gt; автокорреляционная функция и спектральная плот-

ность мощности являются Фурье-образами друг друга связь между средней нормированной мощностью

4. = Gxif)df и спектральной плотностью мощности

На рис. 1.6 приведено визуальное представление автокорреляционной функции и функции спектральной плотности мощности. Что означает термин корреляция ? Когда мы интересуемся корреляцией двух явлений, спрашиваем, насколько близки они по поведению или виду и насколько они совпадают. В математике автокорреляционная функция сигнала (во временной области) описывает соответствие сигнала самому себе, смещенному на некоторый промежуток времени. Точная копия считается созданной и локализированной на минус бесконечности. Затем мы немного перемещаем копию в положительном направлении временной оси и задаем вопрос, насколько они (исходная версия и копия) соответствуют друг другу. Затем мы перемещаем копию еще на один шаг в положительном направлении и задаем вопрос, насколько они совпадают теперь, и т.д. Корреляция между двумя сигналами изображается как функция времени, обозначаемого х; при этом время х можно рассматривать как параметр сканирования.

На рис. 1.6, а-г изображена описанная выше ситуация в некоторые моменты времени. Рис. 1.6, а иллюстрирует отдельный сигнал стационарного в широком



смысле случайного процесса X(t). Сигнал представляет собой случайную двоичную последовательность с положительными и отрицательными (биполярными) импульсами единичной амплитуды. Положительные и отрицательные импульсы появляются с равной вероятностью. Длительность каждого импульса (двоичной цифры) равна Т секунд, а среднее, или величина постоянной составляющей случайной последовательности, равно нулю. На рис. 1.6, б показана та же последовательность, смещенная во времени на Xi секунд. Согласно принятым обозначениям, эта последовательность обозначается Х(г - Xi). Предположим, что процесс X(t) является эргодическим по отношению к автокорреляционной функции, поэтому для нахождения Rx(x) мы можем использовать усреднение по времени вместо усреднения по ансамблю. Значение Rxix) получается при перемножении двух последовательностей Х(0 и X(t - Ti) с последующим определением среднего с помощью уравнения (1.36), которое справедливо для эргодических процессов только в пределе. Впрочем, интегрирование по целому числу периодов может дать нам некоторую оценку Rxix). Отметим, что RxiXi) может быть получено при смещении Х(0 как в положительном, так и отрицательном направлении. Подобный случай иллюстрирует рис. 1.6, в, на котором использована исходная выборочная последовательность (рис. 1.6, а) и ее смещенная копия (рис. 1.6, б). Заштрихованные области под кривой произведения X{t)X{t - тО вносят положительный вклад в произведение, а серые области - отрицательный. Интегрирование Х(ОХ(/ - тО по времени передачи импульсов дает точку Rx(.Xi) на кривой Rx(x). Последовательность может далее смещаться на т, тз, и каждое такое смещение будет давать точку на общей автокорреляционной функции Лх(т), показанной на рис. 1.6, г. Иными словами, каждой случайной последовательности биполярных импульсов соответствует автокорреляционная точка на общей кривой, приведенной на рис. 1.6, г. Максимум функции находится в точке Л(0) (наилучшее соответствие имеет место при т, равном нулю, поскольку для всех т Л(т) lt; R(0)), и функция спадает по мере роста т. На рис. 1.6, г показаны точки, соответствующие (0) и Rx(.Xi).

Аналитическое выражение для автокорреляционной функции Rx(x), приведенной на рис. 1.6, г, имеет следующий вид [1]:

х(х)4-7 11 г (1.37)

О длят gt;Г

Отметим, что автокорреляционная функция дает нам информацию о частоте; она сообщает нам кое-что о полосе сигнала. В то же время автокорреляционная функция - это временная функция; в формуле (1.37) отсутствуют члены, зависящие от частоты. Так как же она дает нам информацию о полосе сигнала?



1 2 3 4 5 6 7 8 9 [ 10 ] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358