Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 [ 117 ] 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

функцию числа п-к бит четности (или 2 * классов смежности). Для обеспечения возможности коррекции f-битовых ошибок произвольных линейных блочных кодов (п, к) необходимым условием является удовлетворение предела Хэмминга.

Чтобы показать, как нормальная матрица может обеспечить визуальное представление этого предела, возьмем в качестве примера код БХЧ (127,106). Матрица содержит все 2 = 2 = 1,70x10* п-кортежей пространства. Верхняя строка матрицы содержит 2*= 2 deg;* = 8,11x10 кодовых слов; следовательно, это число столбцов в матрице. Крайний левый столбец содержит 2 * = 2=2 097 152 образующих элемента классов смежности; следовательно, это количество строк в матрице. Несмотря на то что число п-кортежей и кодовых слов просто офомно, нас не интересует конкретный вид каждого элемента матрицы. Основной интерес представляет количество классов смежности. Сушествует 2 097 152 класса смежности и, следовательно, 2 097 151 модель ошибки, которую способен исправить этот код. Далее показано, каким образом это число классов смежности определяет верхний предел возможностей кода в коррекции г-битовых ошибок.

Поскольку каждое кодовое слово содержит 127 бит, существует 127 возможностей допустить ошибку в одном бите. Рассчитываем количество возможностей появления двух 127

ошибок -

= 8 001. Затем переходим к трехбитовым ошибкам, поскольку ошибки.

упомянутые выше, - это Лишь незначительная часть всех 2 097 151 моделей ошибки.

Итак, существует

= 333 375 возможностей совершить трехбитовую ошибку. Эти рас-

четы приведены в табл. 6.3; там же показано, что нулевая модель ошибки требует наличия первого класса смежности. Затем перечислены требования одно-, двух- и трехбитовых ошибок. Также показывается количество классов смежности, необходимое для коррекции каждого типа ошибок, и общее количество классов смежности, необходимых для коррекции ошибок всех типов, вплоть до требуемого типа ошибки. Из этой таблицы можно видеть, что код (127,106) способен исправить все модели, содержащие 1, 2 или 3 ошибочных бита, причем это составляет только 341 504 из 2 097 152 возможных классов смежности. Неиспользованные 1 755 648 строк говорят о больших потенциальных возможностях в коррекции ошибок, чем было использовано. Действительно, в матрицу можно попытаться втиснуть все возможные 4-битовые ошибки. Но при взгляде на табл. 6.3 становится совершенно ясно, что это невозможно, поскольку, как показывает последняя строка таблицы, число оставшихся в матрице классов смежности значительно меньше общего числа классов смежности, требуемого для коррекции 4-битовых ошибок. Следовательно, предел Хэмминга описанного кода (127, 106) гарантирует исправление всех ошибок вплоть до 3-битовых.

Таблица 6.3. Предел возможностей коррекции для кода (127,106) Количество битовых ошибок

Количество необходимых классов смежности

Общее число необходимых классов смежности

6.6.2. Пример кода (л, к)

Нормальная матрица дает возможность взглянуть на возможные компромиссы между исправлением и обнаружением ошибок. Рассмотрим пример кода {п, L) и факторы, определяющие выбор конкретных значений (п, к).

1.Для получения нетривиального соотношения между исправлением и обнаружением ошибок желательно, чтобы код имел возможности коррекции ошибок, по крайней мере, с ? = 2. Согласно уравнению (6.44), минимальное расстояние при этом равно rf,nm = 2? + 1 = 5.

2. Чтобы кодовая система была нетривиальной, желательно, чтобы количество бит данных было не менее к = 2. Следовательно, число кодовых слов 2* = 4. Далее будем считать наш код следующим: (п, 2).

3. Нас интересует минимальное значение и, которое позволит исправлять все одно- и двухбитовые ошибки. В этом примере каждый из 2 п-кортежей в матрице будет табулирован. Минимальное значение п нас интересует потому, что при каждом увеличении п на единицу число п-кортежей в нормальной матрице удваивается. Это условие, разумеется, диктуется только соображениями удобства использования таблицы. Для реальных прикладных кодов минимальное значение п выбирается по разным причинам - эффективность использования полосы пропускания и простота системы. Если при выборе п используется предел Хэмминга, то п следует выбрать равным 7. В то же время размерность полученного кода (7,2) не соответствует указанным выше требованиям г = 2 и d = 5. Чтобы увидеть это, следует ввести другую верхнюю фаницу возможностей кода в коррекции ?-битовых ошибок (или dnJ. Эта фаница, называемая предел Плоткина [7], определяется следующим образом:

2 -1

В общем случае, линейный код (п, к) должен удовлетворять всем перечисленным выще условиям, включая возможности коррекции ошибок (или минимальное расстояние). Для высокоскоростных кодов из удовлетворения предела Хэмминга следует удовлетворение предела Плоткина; это справедливо, например, для рассмотренного ранее кода (127,106). Для кодов с низкими скоростями передачи существует обходной путь удовлетворения названных требований [7]. Поскольку в нашем примере речь идет именно о таких кодах, важно оценить их возможности в коррекции ошибок с помощью предела Плоткина. Поскольку d = 5, из уравнения (6.53) получаем, что п должно быть равно 8; следовательно, для удовлетворения всех требований, поставленных в этом примере, минимальная размерность кода равна (8,2). Можно ли практически использовать подобный код (8, 2)? Этого делать не стоит, поскольку это потребует слишком большой полосы пропускания; лучше выбрать более эффективный код. Данный код мы используем здесь только с методической целью, единственным его преимуществом являются удобные размеры его нормальной матрицы.

6.6.3. Разработка кода (8, 2)

Ответ на вопрос, как выбираются кодовые слова из пространства 2* 8-кортежей, неоднозначен, хотя определенные возможности выбора все же существуют. Ниже перечислены некоторые моменты, которые могут указать наилучшее решение.

1. Количество кодовых слов 1 = 1} = 4.

2. Среди кодовых слов должен быть нулевой вектор.

3. Следует учесть свойство замкнутости - сумма двух любых кодовых слов в пространстве должна давать кодовое слово из этого же пространства.

4. Каждое кодовое слово содержит 8 двоичных разрядов.

5. Поскольку 4ш1 = 5, весовой коэффициент каждого кодового слова (за исключением нулевого) также должен быть не менее 5 (в силу свойства замкнутости). Весовой коэффициент вектора определяется как число ненулевых компонентов этого вектора.

6. Предположим, что код является систематическим; значит, 2 крайних правых бита каждого кодового слова являются соответствующими битами сообщения.

Далее предлагается вариант набора кодовых слов, удовлетворяющих всем перечисленным выще требованиям.

Сообщения Кодовые слова

00 01 10 И

00000000 11110001 00111110 11001111

Создание набора кодовых слов может выполняться соверщенно произвольно; нужно только неуклонно следовать свойствам весовых коэффициентов и придерживаться систематической формы кода. Выбор первых нескольких кодовых слов обычно очень прост. Далее процесс, как правило, усложняется и возможность выбора все больше офаничивается за счет свойства замкнутости.

6.6.4. Соотношение между обнаружением и исправлением ошибок

Для кодовой системы (8, 2), выбранной в предыдущем разделе, матрицу генератора ( lt;: X и) = (2 X 8) можно записать в следующем виде:

00111110 1 1 1 1 0 0 0 1

Декодирование начинается с расчета синдрома, что можно представлять как изучение симптомов ошибки. Для кода (п,к) (п - )-битовый синдром S является произведением принятого п-битового вектора г и транспонированной проверочной матрицы Н размерностью (п - А;) х п. Проверочная матрица Н построена таким образом, что строки матрицы G ортогональны строкам матрицы Н, т.е. GH=0. В нашем примере кода (8,2) S - это б-битовый вектор, а Н - матрица размером 6x8, где