www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе |
Динамо-машины Сигналы и спектры
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 [ 123 ] 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358
Пример 6.11. Вероятность ошибки для модулированных и кодированных сигналов
Кодированный сигнал с модуляцией BFSK передается по гауссовому каналу. Сигнал некогерентно детектируется и жестко декодируется Найдите вероятность ошибки в декодированном бите, если кодирование осуществляется блочным кодом Хэмминга (7, 4), а принятое значение EtJNa равно 20. Решение
Сначала, используя уравнение (6.75), находим EJNo.
= 1(20) = 11,43
Ло 7
Затем для кодированного некогерентного сигнала BFSK мы можем связать вероятность ошибки в канальном символе с EJNo, подобно тому, как это было сделано в уравнении (4.96).
= -ехр
1 ( 11,43
= 1,6x10
Подставляя этот результат в уравнение (6.73), получаем следующее значение вероятности ошибки в декодированном бите: i
Рв=/-К1-Р) = 1.6х 10 6.8.2. Расширенный код Голея
Одним из наиболее практичных блочных кодов является двоичный расширенный код Голея (extended Golay code) (24, 12), который образован путем прибавления битов четности к совершенному коду (23, 12), известному как код Голея (Golay code). Эти дополнительные биты повышают минимальное расстояние d, с 7 до 8, что дает степень кодирования 1/2, реализовать которую проще (с точки зрения системного тактового генератора), чем степень кодирования кода Голея, равную 12/23. Расширенный код Голея значительно мощнее рассмотренного в предыдущем разделе кода Хэмминга. Цена, которую приходится платить за повышение эффективности, заключается в более сложном декодере и, соответственно, более широкой полосе пропускания.
Для расширенного кода Голея fifmm = 8, поэтому, исходя из уравнения (6.44), можно сказать, что код гарантирует исправление всех трехбитовых ошибок. Кроме того, декодер можно сконструировать так, чтобы он исправлял некоторые модели с четырьмя ошибками. Поскольку исправить можно только 16,7% моделей с четырьмя ошибками, декодер, для упрощения, обычно реализуется для исправления только трехбитовых моделей ошибки [5]. Если предположить жесткое декодирование, то вероятность битовой ошибки для расширенного кода Голея можно представить как функцию вероятности р ошибки в канальном символе (см. уравнение (6.46)):
п 1 /24
График зависимости (6.77) показан на рис. 6.21; вероятность появления ошибки для расширенного кода Голея значительно меньше, чем у кодов Хэмминга. Исходя из уравне-
НИИ (6.77), (6.74) и (6.75), можно связать Рд с EJNq для сигнала BPSK в гауссовом канале с кодированием расширенным кодом Голея. Результаты показаны на рис. 6.22.
6.8.3. Коды БХЧ
Коды Боуза-Чоудхури-Хоквенгема (Bose-Chadhuri-Hocquenghem - ВСН, БХЧ) являются результатом обобщения кодов Хэмминга, которое позволяет исправлять множественные ошибки. Они составляют мощный класс циклических кодов, который обеспечивает достаточную свободу выбора длины блока, степени кодирования, размеров алфавита и возможностей коррекции ошибок. В табл. 6.4 приводятся наиболее часто употребляемые при создании кодов БХЧ генераторы g(x) [8] с разными значениями л, к и t для блоков длиной до 255. Коэффициенты g(jc) представлены восьмеричными числами, оформленными так, что при преобразовании их в двоичные символы крайние правые разряды отвечают коэффициенту нулевой степени в g(x). С помощью табл. 6.4 можно легко проверить свойство циклического кода - полиномиальный генератор имеет порядок п-к. Коды БХЧ очень важны, поскольку при блоках, длина которых равна порядка несколько сотен, коды БХЧ превосходят своими качествами все другие блочные коды с той же длиной блока и степенью кодирования. В наиболее часто применяемых кодах БХЧ используется двоичный алфавит и блок кодового слова длиной и = 2 - 1, где m = 3, 4, ... .
Из названия табл. 6.4 ясно, что показаны генераторы только для примитивных кодов БХЧ. Термин примитивные (primitive) - это теоретико-числовое понятие, требующее алгебраического рассмотрения [7, 10-11], которое представлено в разделе 8.1.4. На рис. 6.21 и 6.22 изображены графики вероятности ошибки для двух кодов БХЧ: (127, 64) и (127, 36). На рис. 6.21 показана зависимость Рд от вероятности ошибки в канальном символе при жестком декодировании. На рис. 6.22 показана зависимость Рд от EJNo Для когерентно демодулированного сигнала BPSK в гауссовом канале. Кривые на рис. 6.22 выглядят совсем не так, как можно было бы ожидать. Все они имеют одну и ту же длину блока, но большая избыточность кода (127, 36) не дает той эффективности кодирования, какая имеется у менее избыточного кода (127, 64). Известно, что относительно широкий максимум эффективности кодирования, в зависимости от степени кодирования при фиксированном и, для кодов БХЧ находится примерно между степенью 1/3 и 3/4 [12]. Стоит также отметить, что передача по гауссову каналу сильно ухудшается при переходе от очень высоких до очень низких степеней [11].
gix) | п к | |||||
255 171 | 15416214212342356077061630637 | |||||
7500415510075602551574724514601 | ||||||
3757513005407665015722506464677633 | ||||||
2467 | 1642130173537165525304165305441011711 | |||||
461401732060175561570722730247453567445 | ||||||
3551 | 2157133314715101512612502774421420241 | |||||
107657 | 65471 | |||||
5423325 | 12061450522420660037172103265161412262 | |||||
313365047 | 72506267 | |||||
6052666557210024726363640460027635255 | ||||||
12471 | 6313472737 | |||||
1701317 | 2220577232206625631241730023534742017 | |||||
166623567 | 6574750154441 | |||||
1033500423 | 1065666725347317422274141620157433225 | |||||
157464165547 | 2411076432303431 | |||||
17323260404441 | 6750265030327444172723631724732511075 | |||||
1363026512351725 | 550762720724344561 | |||||
6331141367235453 | 1101367634147432364352316343071720462 | |||||
472622305527250155 | 06722545273311721317 | |||||
5231045543503271737 | 6670003563765750002027034420736617462 | |||||
1015326711766541342355 | ||||||
41567 | 2402471052064432151555417211233116320 | |||||
11554743 | 5444250362557643221706035 | |||||
3447023271 | 1075447505516354432531521735770700366 | |||||
624730022327 | 6111726455267613656702543301 |
Окончание табл.6.4
п к | g(x) | gix) | |||
130704476322273 | 7315425203501100133015275306032054325 | ||||
26230002166130115 | 414326755010557044426035473617 | ||||
6255010703253127753 | 2533542017062646563033041377406233075 | ||||
1206534025570773100045 | 123334145446045005066024552543173 | ||||
335265252505705053517721 | 1520205605523416113110134637642370156 | ||||
54446512523314012421501421 | 3670024470762373033202157025051541 | ||||
17721772213651227521220574343 | 5136330255067007414177447245437530420 | ||||
3146074666522075044764574721735 | 735706174323432347644354737403044003 | ||||
403114461367670603667530141176155 | 3025715536673071465527064012361377115 | ||||
123376070404722522435445626637647043 | 34224232420117411406025475741040356 | ||||
22057042445604554770523013762217604353 | 5037 | ||||
7047264052751030651476224271567733130217 | 1256215257060332656001773153607612103 | ||||
255 247 | 22734140565307454252115312161446651 | ||||
267543 | 3473725 | ||||
156720665 | 4641732005052564544426573714250066004 | ||||
75625541375 | 33067744547656140317467721357026134 | ||||
23157564726421 | 460500547 | ||||
16176560567636227 | 1572602521747246320103104325535513461 | ||||
7633031270420722341 | 41623672120440745451127661155477055 | ||||
2663470176115333714567 | 61677516057 | ||||
52755313540001322236351 | |||||
22624710717340432416300455 |
Источник. Перепечатано с разрешения авторов из Table of Generators for ВСН Codes . IEEE Trans. Inf. Theory, vol. ITIO, n. 4, October, 1964, p. 391. copy; 1964, IEEE.