www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 [ 123 ] 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

Пример 6.11. Вероятность ошибки для модулированных и кодированных сигналов

Кодированный сигнал с модуляцией BFSK передается по гауссовому каналу. Сигнал некогерентно детектируется и жестко декодируется Найдите вероятность ошибки в декодированном бите, если кодирование осуществляется блочным кодом Хэмминга (7, 4), а принятое значение EtJNa равно 20. Решение

Сначала, используя уравнение (6.75), находим EJNo.

= 1(20) = 11,43

Ло 7

Затем для кодированного некогерентного сигнала BFSK мы можем связать вероятность ошибки в канальном символе с EJNo, подобно тому, как это было сделано в уравнении (4.96).

= -ехр

1 ( 11,43

= 1,6x10

Подставляя этот результат в уравнение (6.73), получаем следующее значение вероятности ошибки в декодированном бите: i

Рв=/-К1-Р) = 1.6х 10 6.8.2. Расширенный код Голея

Одним из наиболее практичных блочных кодов является двоичный расширенный код Голея (extended Golay code) (24, 12), который образован путем прибавления битов четности к совершенному коду (23, 12), известному как код Голея (Golay code). Эти дополнительные биты повышают минимальное расстояние d, с 7 до 8, что дает степень кодирования 1/2, реализовать которую проще (с точки зрения системного тактового генератора), чем степень кодирования кода Голея, равную 12/23. Расширенный код Голея значительно мощнее рассмотренного в предыдущем разделе кода Хэмминга. Цена, которую приходится платить за повышение эффективности, заключается в более сложном декодере и, соответственно, более широкой полосе пропускания.

Для расширенного кода Голея fifmm = 8, поэтому, исходя из уравнения (6.44), можно сказать, что код гарантирует исправление всех трехбитовых ошибок. Кроме того, декодер можно сконструировать так, чтобы он исправлял некоторые модели с четырьмя ошибками. Поскольку исправить можно только 16,7% моделей с четырьмя ошибками, декодер, для упрощения, обычно реализуется для исправления только трехбитовых моделей ошибки [5]. Если предположить жесткое декодирование, то вероятность битовой ошибки для расширенного кода Голея можно представить как функцию вероятности р ошибки в канальном символе (см. уравнение (6.46)):

п 1 /24

График зависимости (6.77) показан на рис. 6.21; вероятность появления ошибки для расширенного кода Голея значительно меньше, чем у кодов Хэмминга. Исходя из уравне-



НИИ (6.77), (6.74) и (6.75), можно связать Рд с EJNq для сигнала BPSK в гауссовом канале с кодированием расширенным кодом Голея. Результаты показаны на рис. 6.22.

6.8.3. Коды БХЧ

Коды Боуза-Чоудхури-Хоквенгема (Bose-Chadhuri-Hocquenghem - ВСН, БХЧ) являются результатом обобщения кодов Хэмминга, которое позволяет исправлять множественные ошибки. Они составляют мощный класс циклических кодов, который обеспечивает достаточную свободу выбора длины блока, степени кодирования, размеров алфавита и возможностей коррекции ошибок. В табл. 6.4 приводятся наиболее часто употребляемые при создании кодов БХЧ генераторы g(x) [8] с разными значениями л, к и t для блоков длиной до 255. Коэффициенты g(jc) представлены восьмеричными числами, оформленными так, что при преобразовании их в двоичные символы крайние правые разряды отвечают коэффициенту нулевой степени в g(x). С помощью табл. 6.4 можно легко проверить свойство циклического кода - полиномиальный генератор имеет порядок п-к. Коды БХЧ очень важны, поскольку при блоках, длина которых равна порядка несколько сотен, коды БХЧ превосходят своими качествами все другие блочные коды с той же длиной блока и степенью кодирования. В наиболее часто применяемых кодах БХЧ используется двоичный алфавит и блок кодового слова длиной и = 2 - 1, где m = 3, 4, ... .

Из названия табл. 6.4 ясно, что показаны генераторы только для примитивных кодов БХЧ. Термин примитивные (primitive) - это теоретико-числовое понятие, требующее алгебраического рассмотрения [7, 10-11], которое представлено в разделе 8.1.4. На рис. 6.21 и 6.22 изображены графики вероятности ошибки для двух кодов БХЧ: (127, 64) и (127, 36). На рис. 6.21 показана зависимость Рд от вероятности ошибки в канальном символе при жестком декодировании. На рис. 6.22 показана зависимость Рд от EJNo Для когерентно демодулированного сигнала BPSK в гауссовом канале. Кривые на рис. 6.22 выглядят совсем не так, как можно было бы ожидать. Все они имеют одну и ту же длину блока, но большая избыточность кода (127, 36) не дает той эффективности кодирования, какая имеется у менее избыточного кода (127, 64). Известно, что относительно широкий максимум эффективности кодирования, в зависимости от степени кодирования при фиксированном и, для кодов БХЧ находится примерно между степенью 1/3 и 3/4 [12]. Стоит также отметить, что передача по гауссову каналу сильно ухудшается при переходе от очень высоких до очень низких степеней [11].



gix)

п к

255 171

15416214212342356077061630637

7500415510075602551574724514601

3757513005407665015722506464677633

2467

1642130173537165525304165305441011711

461401732060175561570722730247453567445

3551

2157133314715101512612502774421420241

107657

65471

5423325

12061450522420660037172103265161412262

313365047

72506267

6052666557210024726363640460027635255

12471

6313472737

1701317

2220577232206625631241730023534742017

166623567

6574750154441

1033500423

1065666725347317422274141620157433225

157464165547

2411076432303431

17323260404441

6750265030327444172723631724732511075

1363026512351725

550762720724344561

6331141367235453

1101367634147432364352316343071720462

472622305527250155

06722545273311721317

5231045543503271737

6670003563765750002027034420736617462

1015326711766541342355

41567

2402471052064432151555417211233116320

11554743

5444250362557643221706035

3447023271

1075447505516354432531521735770700366

624730022327

6111726455267613656702543301

Окончание табл.6.4

п к

g(x)

gix)

130704476322273

7315425203501100133015275306032054325

26230002166130115

414326755010557044426035473617

6255010703253127753

2533542017062646563033041377406233075

1206534025570773100045

123334145446045005066024552543173

335265252505705053517721

1520205605523416113110134637642370156

54446512523314012421501421

3670024470762373033202157025051541

17721772213651227521220574343

5136330255067007414177447245437530420

3146074666522075044764574721735

735706174323432347644354737403044003

403114461367670603667530141176155

3025715536673071465527064012361377115

123376070404722522435445626637647043

34224232420117411406025475741040356

22057042445604554770523013762217604353

5037

7047264052751030651476224271567733130217

1256215257060332656001773153607612103

255 247

22734140565307454252115312161446651

267543

3473725

156720665

4641732005052564544426573714250066004

75625541375

33067744547656140317467721357026134

23157564726421

460500547

16176560567636227

1572602521747246320103104325535513461

7633031270420722341

41623672120440745451127661155477055

2663470176115333714567

61677516057

52755313540001322236351

22624710717340432416300455

Источник. Перепечатано с разрешения авторов из Table of Generators for ВСН Codes . IEEE Trans. Inf. Theory, vol. ITIO, n. 4, October, 1964, p. 391. copy; 1964, IEEE.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 [ 123 ] 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358