www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 [ 145 ] 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

8.1. Коды Рида-Соломона

Коды Рида-Соломона (Reed-Solomon code, R-S code) - это недвоичные циклические коды, символы которых представляют собой /п-битовые последовательности, где т - положительное целое число, большее 1. Коды Рида-Соломона (п,к) определены на /п-битовых символах при всех пик, для которых

0 lt;к lt;п lt;2 + 2,

(8.1)

где к - число информационных битов, подлежащих кодированию, а и - число кодовых символов в кодируемом блоке. Для большинства сверточных кодов Рида-Соломона (и, к)

( laquo;, /:) = (2 -1,2 -1-20,

(8.2)

где t - количество ошибочных битов в символе, которые может исправить код, а и -k = 2t - число контрольных символов. Расширенный код Рида-Соломона можно получить при и = 2 или и = 2 + 1, но не более того.

Код Рида-Соломона обладает наибольшим минимальным расстоянием, возможным для линейного кода с одинаковой длиной входных и выходных блоков кодера. Для недвоичных кодов расстояние между двумя кодовыми словами определяется (по аналогии с расстоянием Хэмминга) как число символов, которыми отличаются последовательности. Для кодов Рида-Соломона минимальное расстояние определяется следующим образом [1]:

d, = n-k+l.

(8.3)

Код, который исправляет все искаженные символы, содержащие ошибку в t или меньшем числе бит, где t приведено в уравнении (6.44), можно выразить следующим образом:

2 J

(8.4)

Здесь LxJ означает наибольшее целое, не превышающее х Из уравнения (8.4) видно, что коды Рида-Соломона, исправляющие t символьных ошибок, требуют не более 2t контрольных символов. Из уравнения (8.4) следует, что декодер имеет п-к используемых избыточных символов, количество которых вдвое превышает количество исправляемых ошибок. Для каждой ошибки один избыточный символ используется для обнаружения ошибки и один - для определения правильного значения. Способность кода к коррекции стираний выражается следующим образом:

p = d-\ = n-k.

(8.5)

Возможность одновременной коррекции ошибок и стираний можно выразить как требование

2а + у lt; пш, lt;п-к.

(8.6)

Здесь а - число символьных моделей ошибки, которые можно исправить, а у - количество комбинаций символьных стираний, которые могут быть исправлены. Преимущества недвоичных кодов, подобных кодам Рида-Соломона, можно увидеть в следующем сравнении. Рассмотрим двоичный код (и, к) = (7, 3). Полное пространство



и-кортежей содержит 2 = 2=128 и-кортежей, из которых 2* = 2 = 8 (или 1/16 часть всех и-кортежей) являются кодовыми словами. Затем рассмотрим недвоичный код (и, к) = (7, 3), где каждый символ состоит из /и = 3 бит. Пространство и-кортежей содержит 2 = 2 = 2 097 152 и-кортежа, из которых 2* = 2= 512 (или 1/4096 часть всех и-кортежей) являются кодовыми словами. Если операции производятся над недвоичными символами, каждый из которых образован т битами, то только незначительная часть (т.е. 2* из большого числа 2 ) возможных и-кортежей является кодовыми словами. Эта часть уменьшается с ростом т. Здесь важным является то, что если в качестве кодовых слов используется незначительная часть пространства и-кортежей, то можно достичь большего nm-

Любой линейный код дает возможность исправить п-к комбинаций символьных стираний, если все п-к стертых символов приходятся на контрольные символы. Однако коды Рида-Соломона имеют замечательное свойство, выражаюшееся в том, что они могут исправить любой набор п-к символов стираний в блоке. Можно сконструировать кеды с любой избыточностью. Впрочем, с увеличением избыточности растет сложность ее высокоскоростной реализации. Поэтому наиболее привлекательные коды Рида-Соломона обладают высокой степенью кодирования (низкой избыточностью).

8.1.1. Вероятность появления ошибок для кодов Рида-Соломона

Коды Рида-Соломона чрезвычайно эффективны для исправления пакетов ошибок, т.е. они оказываются эффективными в каналах с памятью. Также они хорошо зарекомендовали себя в каналах с большим набором входных символов. Особенностью кода Рида-Соломона является то, что к коду длины и можно добавить два информационных символа, не уменьшая при этом минимального расстояния. Такой расширенный код имеет длину и + 2 и то же количество символов контроля четности, что и исходный код. Из уравнения (6.46) вероятность появления ошибки в декодированном символе. Ре, можно записать через вероятность появления ошибки в канальном символе, р [2].

(8.7)

, 2--1 1 1

+ ! К J J

Здесь / - количество ошибочных битов в символе, которые может исправить код, а символы содержат т битов каждый.

Для некоторых типов модуляции вероятность битовой ошибки можно ограничить сверху вероятностью символьной ошибки. Для модуляции MFSK с М = 2 связь Рв и Ре выражается формулой (4.112)

= --. (8.8)

Р 2 -1

На рис. 8.1 показана зависимость Рв от вероятности появления ошибки в канальном символе р, полученная из уравнений (8.7) и (8.8) для различных ортогональных 32-ричных кодов Рида-Соломона с возможностью коррекции t ошибочных бит в символе и и = 31 (тридцать один 5-битовый символ в кодовом блоке). На рис. 8.2 показана зависимость Рв от Еь/No для таких систем кодирования при ис-



пользовании модуляции MFSK и некогерентной демодуляции в канале AWGN [2]. Для кодов Рида-Соломона вероятность появления ошибок является убывающей степенной функцией длины блока, и, а сложность декодирования пропорциональна небольшой степени длины блока [1]. Иногда коды Рида-Соломона применяются в каскадных схемах. В таких системах внутренний сверточный декодер сначала осуществляет некоторую защиту от ошибок за счет мягкой схемы решений на выходе демодулятора; затем сверточный декодер передает данные, оформленные согласно жесткой схеме, на внешний декодер Рида-Соломона, что снижает вероятность появления ошибок. В разделах 8.2.3 и 8.3 мы рассмотрим каскадное декодирование и декодирование Рида-Соломона на примере системы цифровой записи данных на аудиокомпакт-дисках (compact disc - CD).


10-7

10- 10-2 10-3 10-

Вероятность ошибочного приема канального символа, р

Рис. 8.1. Зависимость Рв от р для различных ортогональных 32-ричных кодов Рида-Соломона с возможностью коррекции t бит в символе и п = 31. (Перепечатано с разрешения автора из Data СопШ1ип1са11оп5, Network, and Systems, ed. Thomas С. Bartee, Howard W. Sams Company, Indianapolis, Ind., 1985, p. 311. Ранее публиковалось в J. P. Odenwalder, Error Control Coding Handbook, M/A-COM LINKABIT, Inc., San Diego, Calif., July, 15, 1976, p. 91.)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 [ 145 ] 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358