www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 [ 151 ] 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

Из этой структуры можно видеть, что каждый правильный полином кодового слова U(X) является кратным полиномиальному генератору g(X). Следовательно, корни g(X) также должны быть корнями U(X). Поскольку г(Х) = U(X) + е(Х), то г(Х), вычисляемый с каждым корнем g(X), должен давать нуль, только если г(Х) будет правильным кодовым словом. Любые ошибки приведут в итоге к ненулевому результату в одном (или более) случае. Вычисления символов синдрома можно записать следующим образом:

5, =г(Х)

=г(а) 1 = 1,...,п-к.

(8.32)

Здесь, как было показано в уравнении (8.29), г(Х) содержит 2-символьные ошибки. Если г(Х) окажется правильным кодовым словом, то это приведет к тому, что все символы синдрома S, будут равны нулю. В данном примере четыре символа синдрома находятся следующим образом:

5, = г(а) = а + а + а + а + а + а + а = = а + а + а* + + + а + а* =

(833)

5j = г(а) = а + аЧ аЧ аЧ аЧ а

= а + а+ а+ аЧ аЧ аЧ

(8.34)

5з = г(аЗ) = аЧ аЧ аЧ аЧ аЧ аЧ а

0 5 1 2 4 4 2

= а + а + а + а + а -ь а -ь а =

(8.35)

54 = г(а) = аЧ аЧ а + а + а + а + а =

= аЧ аЧ аЧ аЧ а

= 0.

Ч + а =

(8.36)

Результат подтверждает, что принятое кодовое слово содержит ошибку (введенную нами), поскольку S 0.

Пример 8.3. Повторная проверка значений синдрома

Для рассматриваемого кода Рида-Соломона (7, 3) модель ошибки известна, поскольку мы выбрали ее заранее. Вспомним свойство кодов, обсужцаемое в разделе 6.4.8.1, когда была введена нормальная матрица. Все элементы класса смехшости (строка) нормальной матрицы имеют один и тот же синдром. Нужно показать, что это свойство справедливо и для кода Рида-Соломона, путем вычисления полинома ошибок е(Х) со значениями корней g(X). Это должно дать те же значения синдрома, что и вычисление г(Х) со значениями корней g(X). Другими словами, это должно дать те же значения, которые были получены в уравнениях (8.33)-(8.36).



Решение

S,=T{X)

= г(а) i = \,2,-,n-k

5, =[U(X) + e(X)]

= U(a) + e(a)

A = a

S, = r(a) = U(a) + e(a) = 0 + e(a) Из уравнения (8.29) следует, что е(Х) = аХ + сСХ*, поэтому

5, = е(а) = аЧ а = = + =

52 = е(а) = аЧа =

= а.

5з = е(а) = а + а =

= а +

54 = е(а) = аЧа =

= а + а =

= 0.

Из этих результатов мохсно заключить, что значения синдрома одинаковы - как получен-. ные путем вычисления е(Х) со значениями корней g(X), так и полученные путем вычисления г(Х) с теми же значениями корней g(X).

8.1.6.2. Локализация ошибки

Допустим, в кодовом слове имеется v ошибок, расположенных на позициях Х\ Х-, Х . Тогда полином ошибок, определяемый уравнениями (8.28) и (8.29), можно записать следующим образом:

e(X)=ejX +еХ +...+еХ gt;.

(8.37)

Индексы 1, 2, V обозначают 1-ю, 2-ю, v-ю ошибки, а индекс j - расположение ошибки. Для коррекции искаженного кодового слова нужно определить каждое значение ошибки и ее расположение Х-, где /= 1, 2, v. Обозначим номер ло-



катора ошибки как р, =а. Далее вычисляем n-k=2t символа синдрома, подставляя а, в принятый полином при ( = 1, 2, 2t.

= г(а) = еР, = г(аЪ = дР?

(8.38)

У нас имеется 2t неизвестных (f значений ошибок и f расположений) и система 2/ уравнений. Впрочем, эту систему 2t уравнений нельзя решить обычным путем, поскольку уравнения в ней нелинейны (некоторые неизвестные входят в уравнение в степени). Методика, позволяющая решить эту систему уравнений, называется алгоритмом декодирования Рида-Соломона.

Если вычислен ненулевой вектор синдрома (один или более его символов не равны нулю), это означает, что бьша принята ошибка. Далее нужно узнать расположение ошибки (или ошибок). Полином локатора ошибок можно определить следующим образом:

а(Х) = (1 + р,Х)(1 + PjX) ... (1 + PvX) = = 1+о,Х + О2ХЧ...+0Д.

(8.39)

Корнями а(Х) будут l/p I/P2, 1/Pv. Величины, обратные корням а(Х), будут представлять номера расположений моделей ошибки е(Х). Тогда, воспользовавшись авторегрессионной техникой моделирования [5], мы составим из синдромов матрицу, в которой первые t синдромов будут использоваться для предсказания следующего синдрома:

- r+l

52,-1

0,-1

-5, + , ~ 2t -1

(8.40)

Мы воспользовались авторегрессионной моделью уравнения (8.40), взяв матрицу наибольшей размерности с ненулевым определителем. Для кода (7, 3) с коррекцией двухсимвольных ошибок матрица будет иметь размерность 2 х 2, и модель запишется следующим образом:

53

(8.41)

(8.42)

Чтобы найти коэффициенты о, и Ог полинома локатора ошибок а(,Х), сначала необходимо вычислить обратную матрицу для уравнения (8.42). Обратная матрица для матрицы [А] определяется следующим образом:



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 [ 151 ] 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358