www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 [ 176 ] 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

настолько значительны, что, независимо от переданного символа, вероятность приема единицы равна 1/2 (то же самое - для нуля). В таком случае половина принятых символов должна случайно оказаться правильной, и может создаться впечатление, что система обеспечивает скорость 500 бит/с, хотя на самом деле никакой информации не передается. Одинаково хороший прием дает и использование информации , поступившей из канала, и генерация этой информации методом подбрасывания правильной монеты. Утраченной является информация о корректности переданных символов. Для оценки неопределенности в принятом сигнале Шеннон [3] использует поправочный коэффициент, который называет неоднозначностью (equivocation). Неоднозначность определяется как условная энтропия сообщения X, обусловленная данным сообщением Y, или

H{X\Y) = -YP(X\Y)log2P(X\Y) =

(9.10)

где X сообщение, переданное источником, Y - принятый сигнал, Р{Х, Y) - совместная вероятность X и У, а P{X\Y) - условная вероятность X при приеме Y. Неоднозначность можно представить как неуверенность в передаче X при условии принятия Y. Для канала без ошибок Я(ХУ) = 0, поскольку принятие сообщения Y абсолютно точно определяет X. В то же время для канала с ненулевой вероятностью возникновения символьной ошибки Я(ХУ) gt; О, поскольку канал вносит некоторую неопределенность. Рассмотрим двоичную последовательность X, для которой априорные вероятности источника Р(Х= 1) = Р(Х= 0) = 1/2 и где, в среднем, в принятую последовательность из 100 бит канал вносит одну ошибку (Fg=0,01). Исходя из уравнения (9.10), неоднозначность H(X\Y) можно записать следующим образом:

H(X\Y) = -[(1 - Рв) log2 (1 - Рв) + Рв log2 Рв] = = -(0,99 log2 0,99 + 0,01 log2 0,01) = = 0,081 бит/полученный символ.

Таким образом, в каждый принятый символ канал вносит 0,081 бит неопределенности.

Шеннон показал, что среднее эффективное количество информации в приемнике получается путем вычитания неоднозначности из энтропии источника. Следовательно,

H,f,= H{X)-mx\Y). (9.11)

Для системы, передающей равновероятные двоичные символы, энтропия ЩХ) равна 1 бит/символ. Если символы принимаются с 8 = 0,01, неоднозначность, как показано выше, равна 0,081 бит/(принятый символ). Тогда, используя уравнение (9.11), можем записать эффективную энтропию Hi принятого сигнала.

= 1 - 0,081 = 0,919 бит/полученный символ

Иными словами, если, например, за секунду передается R = 1000 двоичных символов, то Rcff можно выразить следующим образом:

Лея = ЛЯея = 1000 символов/с X 0,919 бит/символ = 919 бит/с. (9.12)



Отметим, что в предельном случае Рв = 0,5

Я(ХУ) = -(0,5 log2 0,5 + 0,5 log2 0,5) = 1 бит/символ Используя формулы (9.12) и (9.11) при R= 1000 символов/с, получаем

Ля = 1000 символов/с (1 - 1) = О бит/с,

что и следовало ожидать.

Пример 9.3. Кажущееся противоречие с пределом Шеннона

График зависимости Рв от EJNo обычно показывает плавный рост Рд при увеличении EJNo. Например, кривые вероятности появления битовых ошибок на рис. 9.1 показывают, что в пределе при EJNo, стремящемся к нулю, Рв стремится к 0,5. Таким образом, кажется, что всегда (при сколь угодно малом значении EJNo) имеется ненулевая скорость передачи информации. На первый взгляд это не согласуется с величиной предела Шеннона EJNo = -1,6 дБ, ниже которого невозможна безошибочная передача информации или ниже которого даже бесконечная полоса пропускания дает конечную скорость передачи информации (см. рис. 9.4).

а) Предложите способ разрешения кажущегося противоречия.

б) Покажите, каким образом коррекция неоднозначности по Шеннону может помочь разрешить данное противоречие для двоичной системы с модуляцией PSK, если энтропия источника равна 1 бит/символ. Предположим, что рабочая точка на рис. 9.1, б соответствует Ej/Ao = 0,1 (-10 дБ).

Решение

а) Величина ( традиционно используемая при расчетах каналов в прикладных системах, - это энергия принятого сигнала, приходящаяся на переданный символ. Однако Еь в уравнении (9.6) - это энергия сигнала, приходящаяся на один бит принятой информации. Для разрешения описанного выше кажущегося противоречия следует учитывать потери информации, вызываемые помехами канала.

б) На основе уравнения (4.79) для BPSK можно записать

Рд =G(/2 i/;Vo)=G(0,447),

где Q определено в формуле (3.43) и представлено в табличной форме в приложении Б (табл. Б.1). Из таблицы находим, что Pg = 0,33. Далее находим неоднозначность и эффективную энтропию

HiX\Y) = -[(1 - Рв) log2 (1 - Рв) + Рв log2 Рв] = = -(0,67 log2 0,67 + 0,33 log2 0,33) = = 0,915 бит/символ

H,fc=H{X)-H{X\Y) = = 1-0,915 = = 0,085 бит/символ



Следовательно,

(E/j/Nq) джоуль на символ/ватт на символ Hff бит/символ

, джоуль на бит ~ = 1,176 ~

0,085 ватт/Гц

= 0,7 дБ.

Таким образом, эффективное значение EJNo равно 0,7 дБ на принятый информационный бит, что значительно больше предела Шеннона -1,6 дБ.

9.5. Плоскость полоса-эффективность

с помошью уравнения (9.6) можно составить график зависимости нормированной полосы пропускания канала W/C (в Гц/бит/с) от EJNo, как показано на рис. 9.4. Здесь в качестве независимой переменной взято EJNo и можно видеть компромисс между активной мощностью и полосой пропускания, так сказать, в деле. Можно показать [5], что качественно спроектированные системы должны стремиться к работе в области излома кривой компромисса между полосой пропускания и мощностью для идеального {R = С) канала. Характеристики реальных систем часто отличаются от идеальных не более чем на 10 дБ. Наличие излома означает, что в системах, в которых предпринимается попытка уменьшить занимаемую полосу пропускания канала или снизить требуемую мощность, приходится все больше повышать значение другого параметра (что является не очень желательным). Например, возвращаясь к рис. 9.4, можно сказать, что идеальная система, работающая при EJNo = 1-8 дБ и использующая полосу частот с нормированной шириной 0,5 Гц/бит/с, для уменьшения используемой полосы частот до 0,1 Гц/бит/с должна поднять EJNo ДО 20 дБ. Подобное будет происходить и при попытке компромисса в обратную сторону.

С помощью уравнения (9.6,в) можно также получить зависимость C/W от EJNo- Она показана на графике зависимости RIW от EJNo (Рис. 9.6). Обозначим эту плоскость как плоскость полоса-эффективность . Ордината RIW- это мера объема данных, которые можно передать через единицу полосы частот за данное время; следовательно, она отображает эффективность использования ресурса полосы пропускания. Независимая переменная EJNo измеряется в децибелах. На рис. 9.6 кривая Л = С - это граница, разделяющая область реальных прикладных систем связи и область, в которой такие системы связи теоретически невозможны. Подобно изображенной на рис. 9.2, характеристика эффективности полосы пропускания на рис. 9.6 устанавливает предельные параметры, которые достижимы для прикладных систем. Поскольку в качестве независимой переменной более предпочтительно EJNo, чем SNR, рис. 9.6 удобнее рис. 9.2 с точки зрения сравнения компромиссов кодирования и модуляции в цифровой связи. Отметим, что на рис. 9.6 проиллюстрирована зависимость эффективности использования полосы частот от EJNo для систем с одной несущей. Для систем с множественными несущими эффективность использования полосы частот зависит от разнесения несущих (и типа модуляции). В этом случае компромисс - это насколько разнесены несущие (что приводит к повышению эффективности использования полосы частот) без юзникновения неприемлемых помех соседних каналов (adjacent channel interference - ACI).



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 [ 176 ] 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358