www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 [ 18 ] 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

где Х 09 - Фурье-образ сигаала х((), не обязательно имеющий ограниченную ширину полосы, и

H(f) = rect

r/Vrectr/ plusmn;A

(1.75)

rect

/Л fl для-И lt;/ lt;И

[О для I/I gt;И

V2iv;

Х(/) можно выразить через Xlif) как

Гх(/) для (Л - и/) lt;1Л lt; (Л + Ю

Х(/) =

о для остальных/

Умножение в частотной области, как показано в уравнении (1.74), преобразуется в свертку во временной области:

x{t) = xXt)*hU). (1.76)

Здесь h(t) - результат применения обратного преобразования Фурье к функции Я(/), который можно записать следующим образом (см. табл. А.1 и А.2):

h(t) = 2(sine 2Wt) cos 27c/f.

Вид h(t) показан на рис. 1.21, 6. Отметим, что h{t) имеет бесконечную длительность. Следовательно, сигнал x(t), полученный, как показывает уравнение (1.76), путем свертки xXt) с h{t), также имеет бесконечную длительность и, следовательно, не может быть реализован.

1.8. Резюме

в данной главе намечены цели книги и определена основная терминология. Здесь рассмотрены фундаментальные понятия изменяющихся во времени сигналов, такие как классификация, спектральная плотность и автокорреляция. Кроме того, описаны случайные сигналы, статистически и спектрально охарактеризован белый гауссов щум, для больщинства систем связи представляющий собой первичную модель щума. В заключение рассмотрен важный вопрос передачи сигнала через линейные системы и проанализированы некоторые реальные аппроксимации идеального случая. Установлено, что понятие абсолютной ширины полосы является абстракцией и что в реальном мире мы сталкиваемся с необходимостью выбора определения ширины полосы, подходящего для конкретного случая. В последующих главах книги, согласно схеме, приведенной в начале главы, будут рассмотрены все этапы обработки сигналов, введенные в данной главе.

Литература

1. Haykin S. Communication Systems. John Wiley amp; Sons, Inc., New York, 1983.

2. Shanmugam К S. DigifaJ and AmiJog Communication Systems. John Wiley amp; Sons, Inc., New York, 1979.

3. Papoulis A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes. McGraw-Hill Book Company, New York, 1965.

4. Johnson J. B. Thermal Agitation of Electricity in Conductors. Phys. Rev., vol. 32, July 1928, pp. 97-109.

5. Nyguist H. Thermal Aptation of Electric Charge in Conductors. Phys. Rev., vol. 32, July 1928, pp. 110-113.

6. Van Trees H. L. Detection, Estimation, and Modulation Theory. Part I, John Wiley amp; Sons, New York, 1968.



7. Schwartz М. Infomation Transmission, Modulation, and Noise. McGraw-Hill Book Company, New York, 1970.

8. Millman J. and Taub H. Pulse, Digital, and Switching Wavefoms. McGraw-Hill Book Company, New York, 1965.

Задачи

1.1. Определите, в каком представлении даны следующие сигналы: в энергетическом или мощност-ном. Найдите нормированную энергию и нормированную мощность каждого сигаала.

а) д[;{0=Асо5 2п/оГдля-оо lt;г lt; laquo;=

\А cos 27С/о/ для - Го / 2 lt; / lt; Го / 2, где Го = 1 / /о О для остальных t

б) x{t) =

в) 40 =

А ехр(-аг) для г gt; О, а gt; О О для остальных t

г) 40 = cos t + 5 cos 2t для -оо lt; j lt; оо

1.2. Определите спектральную плотность энергии квадратного импульса 40 = rect (f/Z), где функция rect (t/T) равна 1 для -Г/2 lt; f lt; Г/2 и нулю - для остальных t. Вычислите нормированную энергию импульса.

1.3. Выразите среднюю нормированную мощность периодического сигнала через коэффициенты комплексного ряда Фурье.

1.4. Используя усреднение по времени, найдите среднюю нормированную мощность сигнала 40 = 10 cos lOf + 20 cos 20f.

1.5. Решите задачу 1.4 посредством суммирования спектральных коэффициентов.

1.6. Определите, какие из перечисленных функций (если такие есть) имеют свойства автокорреляционных функций. Ответ аргументируйте. (Примечание: S{R(t)} должна бьпъ неотрицательной функцией. Почему?)

1 для-1 lt;т lt;1 О для остальных т

а) 4t) =

б) 4т) = б(т) + sin 2л/оТ

в) х(т) = ехр(т)

г) x(z) = 1 - т - для -1йт lt;1иО - для остальных

1.7. Определите, какие из перечисленных функций (если такие есть) имеют свойства функций спектральной плотности мощности. Ответ аргументируйте.

а) Л:(/) = ад + С052л/

б) X(f) = lO + b(f-10)

в) Л:(/) = ехр(-2п/--10)

г) X(/) = exp[-2n(f-10)]

1.8. Выразите автокорреляционную функцию 40 = А cos (27С/оГ + ф) через ее период Го = Vfo. Найдите среднюю нормированную мощность 40, используя соотношение = R(0).

1.9. а) Используя результаты задачи 1.8, найдите автокорреляционную функцию R(X) сигнала

x(t) = 10 cos Юг + 20 cos 20f.

б) Используя соотношение P = R(0), найдите среднюю нормированную мощность сигнала 40- Сравните ответ с ответами задач 1.4 и 1.5.



1.10. Для функши x{t) = 1 + cos 2л/оГ вычислите (а) среднее значение x{t); (б) мощность переменной составляющей x(t); (в) среднеквадратическое значение x{t).

1.11. Рассмотрим случайный процесс, описываемый функцией X(f) = А cos {2п/)Г + ф), где А и /о - константы, а ф - случайная переменная, равномерно распределенная на промежутке (О, 2п). Если X{t) является эргодическим процессом, среднее по времени от X(t) в пределе Г - gt; оо равно соответствующему среднему по ансамблю от X{t).

а) Используя усреднение по времени целого числа периодов, вычислите приближенно первый и второй моменты X{t).

б) Используя уравнения (1.26) и (1.28), приближенно вычислите средние по ансамблю значения первого и второго моментов Х{1). Сравните результаты с ответом на п. а.

1.12. Фурье-образ сигнала x(f) определяется формулой Х(/) = sine/(функция sine определена в уравнении (1.39)). Найдите автокорреляционную функцию Ri) сигнала дг(г).

1.13. Используя свойства дельта-функции, вычислите следующие интегралы.

а) cos6f5(f-3)

105(0(1 +О Л

в) J5(r44)(f+6/+1)Л

г) Jexp(-f)5(f - 2)dt 1.14. Найдите свертку Xi(/) * Хгф для спектров, показанных на рис. 31.1.

-fo fo

-к -

-fo fo

Рис. 31.1

1.15. На рис. 31.2 показана двусторонняя спектральная плотность мощности, G(/)=10 */ сигнала x{t).



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 [ 18 ] 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358