www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 [ 200 ] 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

Пример 10.1. Линеаризованное уравнение контура

Покажите, что при надлежащем выборе Ко иДг) линеаризованное уравнение контура (10.4) имеет тенденцию к синхронизации фазы, т.е. вне зависимости от начальных условий разность фаз между входным сигналом и выходом ГУН будет снижаться.

Решете

Пусть фаза входного сигнала в(г) медленно меняется со временем. Можно видеть, что если разность фаз в правой части уравнения (10.4) положительна (т.е. в(г) gt; в(г)), то надлежащим

выбором Ко и ДО производную по времени от 9(/) можно сделать больше нуля, так что в(Г) будет расти со временем, что приведет к снижению разности в(Г) - B(t)\. С другой стороны, если разность фаз отрицательна, в(г) будет уменьшаться ср временем, что также приведет к снижению разности фаз. И наконец, если в(г) = 9(г), из уравнения (10.4) видно, что в(г) не будет меняться со временем и условие Qit) = Q{t) будет выполняться всегда.

Рассмотрим результат применения преобразования Фурье к обеим частям уравнения (10.4).

/со0(со) = Ko[Q{m) - e(co)]F(co) (10.5)

Здесь функции от со, обозначенные большими буквами, являются Фурье-образами соответствующих функций от г, обозначенных в уравнении (10.4) маленькими буквами.

Иными словами, Q(co) lt;- gt; в(г), 0(со) lt;- gt; в(г) и F(co) lt;- raquo;ДО- После преобразования уравнения (10.5) получаем следующий результат:

в( laquo;) оХ laquo;) .я(со). (10.6)

copy;(со) ia + KoFia)

Я(со) называется передаточной функцией замкнутого контура ФАПЧ. Этот термин очень полезен при описании переходной характеристики контура ФАПЧ. Порядок контура ФАПЧ определяется старшим порядком /со в знаменателе Я(со). Уравнение (10.6) показывает, что этот порядок всегда на единицу больше порядка контурного фильтра F(co). Это объясняется тем, что F(co) аналитически выражается как F(co) = N(co)/D(co), знаменатель Я(со), при записи в виде полинома от /со, будет содержать слагаемое /coD(co), который по /со дает слагаемое, на один порядок большее слагаемого максимального порядка в D(co). Порядок контура ФАПЧ очень важен при определении стационарной характеристики контура при стационарном входе. Подробно этот вопрос рассматривается в следующем разделе.

10.2.1.1. Характеристики стационарного состояния

После преобразования уравнения (10.6) можно получить следующее выражение для Фурье-образа рассогласования по фазе:

Ei(o) = d{eit)] =

= е(со) - 0(со) =

= [1-н(со)]е(со)=

/СО0(СО)

/со + AoF(co)

Q26 Гпяпя 10 pMuvrnuMOHi ма



Для определения характеристики установившейся ошибки контура при разнообразных выходных характеристиках можно использовать уравнение (10.7) и теорему о конечном значении преобразования Фурье. Установившаяся ошибка - это остаточная ошибка после завершения всех переходных процессов, поэтому данная ошибка определяет, насколько контур способен справиться с различными типами изменений на входе. Теорема о конечном значении формулируется следующим образом:

lim e{t) = lim jco (co). (10.8)

г - gt; ~ 1(0 - gt; о

Объединяя уравнения (10.7) и (10.8), получаем следующее:

1(0-f о ico+ KqF{(o)

mei.)= lim-iil reg;(L. (io.9)

Пример 10.2. Реакция на скачок фазы

Рассмотрите отклик контура, находящегося в стационарном состоянии, на скачок фазы на входе контура.

Решение

Предположим, что изначально контур ФАПЧ синхронизирован по фазе с входным сигналом, а скачок фазы вывел его из этого состояния. Причем после резкого изменения входная фаза снова стала стабильной. Вообще, это самый простой случай, с которым способен справиться контур ФАПЧ. Итак, Фурье-образ скачка фазы равен следующему:

(10.10)

в(ш) = 5{Афм(/)} = Аф ico

Здесь Аф - величина скачка, а u(t) - единичная ступенчатая функция.

1 для gt;0

м(г) = lt;

[О для lt;0

= 5(х) dx

в последнем выражении 6(т) - дельта-функция Дирака. Из формул (10.9) и (10.10) получаем

lim eit) = lim--= О

г ~ ico - gt; о /со + AoF(co)

в предположении, что F(0) * 0. Таким образом, при любом скачке фазы, происшедшем на входе, контур со временем синхронизируется, если характеристика контурного фильтра имеет ненулевую постоянную составляющую. Это означает, что для любого контурного фильтра, обладающего свойством F(co) = N(co)/D(co) и N(0) * О, контур ФАПЧ автоматически восстановит фазовую синхронизацию, если входной сигнал заменить сигналом с произвольной постоянной фазой. Очевидно, что это свойство контура является очень полезным.

Пример 10.3. Реакция на скачок частоты

Рассмотрите отклик контура, находящегося в стационарном состоянии, на скачок частоты на входе.

4П г\ л.



Решение

Посредством скачка частоты можно аппроксимировать последствия доплеровского смещения частоты входного сигнала вследствие относительного движения передатчика и приемника. Следовательно, данный пример важен для систем с мобильными терминалами. Поскольку фаза является интегралом частоты, при постоянном сдвиге входной частоты входная фаза (как функция времени) будет меняться линейно. Фурье-образ фазовой характеристики - это Фурье-образ интеграла частотной характеристики. Поскольку частотная характеристика - это ступенчатая функция, а образ интеграла - это образ подынтегрального выражения, деленного на параметр (СО, можем записать

0(со)=-J, (10.11)

где Асо - величина скачка частоты. Подстановка уравнения (10.11) в уравнение (10.9) дает следующий результат:

Асо Асо

lim e{t)= lim -=-. (10.12)

В данном случае стационарный результат зависит не только от ненулевой постоянной составляющей в характеристике, но и от других свойств контурного фильтра. Если фильтр является широкополосным с полосой, равной бесконечности, то

F p(co)=l. (10.13)

Если фильтр является фильтром нижних частот, то

F,pm = --- (10.14)

Если фильтр является стабилизирующим, то

F (co) =

VC02

/СО + С02 /СО + COi

(10.15)

Уравнение (10.12) показывает, что контур отследит изменение входной фазы с установившейся ошибкой, величина которой зависит от члена Ко и величины скачка частоты. Подстановка любого из значений Fap(co), Fip(co) или Fu(co) в уравнение (10.12) дает следующий результат:

hm eit) = ---. r-~ Kg

Отметим, что последовательное соединение нескольких фильтров с характеристиками, подобными указанным в формулах (10.13), (10 14) или (10.15), по-прежнему будет давать желаемый результат. Стационарная ошибка, называемая ошибкой по скорости, будет существовать вне зависимости от порядка фильтра, если только знаменатель F(co) не будет содержать /со в виде множителя (coi = О в знаменателе уравнений (10.14) или (10.15) при соответствующей перенормировке числителей). Наличие /со в виде множителя в D(to) равносильно наличию идеального интегратора в контурном фильтре. Построить идеальный интегратор невозможно, но его можно достаточно хорошо аппроксимировать либо с помошью оцифровки, либо с помощью активных интегральных схем [5]. Следовательно, если структура системы требует отслеживания доплеровского смещения при нулевой стационарной ошибке, контурный фильтр должен быть близок к идеальному интегратору. Следует отметить, что даже при ненулевой ошибке по скорости частота по-прежнему отслеживается: существуют важные системы, где стремление к нулевой фазовой ошибке не важно. В качестве примера можно



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 [ 200 ] 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358