www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [ 23 ] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

хА0 = х(0х5(0= x{mt-nT,)= (2.5)

n = -оо

= x{nT,)b{t-nT,).

п ~ - lt; raquo;

Используя свойство преобразования Фурье для свертки в частотной области (см. раздел А.5.3), мы можем преобразовать произведение временньос функций x{t)xb{f) в уравнении (2.5) в свертку частотных функций X(j) * Xif), где

5(/) = : 25(/- laquo;Л) (2.6)

является Фурье-образом последовательности импульсов xt), а /, = УТ - частотой дискретизации. Отметим, что Фурье-образ последовательности импульсов - это другая последовательность импульсов; периоды обеих последовательностей обратны друг другу. Последовательность импульсов Xbit) и ее Фурье-образ Х показаны на рис. 2.6, в, г. Свертка с импульсной функцией смещает исходную функцию:

X(f)*b(f-nfd=X{f-nf,). (2.7)

Запишем теперь Фурье-образ дискретного сигнала:

2 sect;(/-пЛ)

(2.8)

.(/)=(/)*5(/) = (/)*

= Т T(f- fs)-

Итак, приходим к заключению, что в пределах исходной полосы спектр Xj(f) дискретного сигнала x,(,t) равен, с точностью до постоянного множителя (УТ,), спектру исходного сигнала x(t). Кроме того, спектр периодически повторяется по частоте с интервалом /j Гц. Фильтрующее свойство импульсной функции позволяет легко получить свертку в частотной области последовательности импульсов с другой функцией. Импульсы действуют как стробирующие функции. Значит, свертку можно выполнить графически, накрывая последовательность импульсов Хф, показанную на рис. 2.6, г, образом pf(, представленным на рис. 2.6, б. Этот процесс повторяет функцию pf( в каждом интервале частот последовательности импульсов, что в конечном итоге дает функцию \Х,д)\, показанную на рис. 2.6, е.

После выбора частоты дискретизации (в предыдущем примере f = 2fJ каждая спектральная копия отделяется от соседних полосой частот, равной f Гц, и аналоговый сигнал полностью восстанавливается из выборок путем фильтрации. В то же время для выполнения этого потребовался бы идеальный фильтр с абсолютно крутыми фронтами. Очевидно, что если fs gt;2f , копии отдалятся (в частотной области), как показано на рис. 2.7, а, и это облегчит операцию фильтрации. На рисунке также показана типичная характеристика фильтра нижних частот, который может использоваться для выделения



спектра немодулированного сигнала. При уменьшении частоты дискретизации до / lt; 24 копии начнут перекрываться, как показано на рис. 2.7, б, и информация частично будет потеряна. Явление, являющееся результатом недостаточной дискретизации (выборки производятся очень редко), называется напожением (aliasing). Частота Найквиста /= 2f - это предел, ниже которого происходит наложение; чтобы избежать этого нежелательного явления, следует удовлетворять критерию Найквиста / gt; 2/ .

Характеристика фильтра, необходимая для восстановления \Xs(f)\ сигнала из дискретных данных

Г\Г.1АЧ/~\Г\

-2fs -fs -fm О f fs 2fs

\Xs(f)\

-2U -fs 0 fs 2h

Puc. 2.7. Спектры для различных частот дискретизации: а) дискретный спектр (fs gt; 2/J; 6) дискретный спектр (f, lt; 2fJ

С практической точки зрения ни сигналы, представляющие технический интерес, ни реализуемые узкополосные фильтры не имеют строго ограниченной полосы. Сигналы с идеально ограниченной полосой не существуют в природе (см. раздел 1.7.2); следовательно, реализуемые сигналы, даже если мы можем считать, что они имеют ограниченную полосу, в действительности всегда включают некоторое наложение. Эти сигналы и фильтры могут, впрочем, рассматриваться как ограниченные по полосе. Под последним мы подразумеваем, что можно определить полосу, вне которой спектральные компоненты затухают настолько, что ими можно пренебречь.

2.4.1.2. Естественная дискретизация

В данном разделе справедливость теоремы о дискретном представлении демонстрируется с помощью свойства преобразования Фурье, заключающегося в сдвиге частоты. Хотя мгновенная выборка и является удобной моделью, все же более практичный способ дискретизации аналогового сигнала x{t) с ограниченной полосой частот (рис. 2.8, а,б) состоит в его умножении на серию импульсов или коммутирующий сигнал Xp{t) (рис. 2.8, в). Каждый импульс серии Xpif) имеет ширину Г и амплитуду 1/Г. Умножение на Xp{f) можно рассматривать как включение и выключение коммутатора. Как и ранее, частота дискретизации обозначается через / а величина, обратная к ней (время между выборками), - через 7;. Получаемая последовательность дискретных данных, XsU), показана на рис. 2.8, д; она выражается следующей формулой:

xmx{t)x,{t). (2.9)




Xp(f)= Z c e laquo; st

-fm 0 f 6)

-- lt;fT gt;- gt;

-47; -2rs 0 2Ts 4Ts B)

Xs(f)=X(t)Xp(f)

-2fs -fs 0 r)

t


-2fs -U-fm 0 f fs 2U e)

-4rs -2Js 0 2rs 4Г5 Д)

Puc. 2.8. Теорема о дискретном представлении и сдвиг частоты Фурье-образа

В данном случае мы имеем дело с так называемой естественной дискретизацией (natural sampling), поскольку вершина каждого импульса xjii) в течение интервала его передачи имеет форму соответствующего аналогового сегмента. С помощью уравнения (А. 13) периодическую серию импульсов можно выразить как ряд Фурье:

,2Kinf,t

(2.10)

где частота дискретизации, f = 1/Г выбрана равной 2/, так что выполнено минимальное необходимое условие критерия Найквиста. Из уравнения (А24) с = (УГ,) sine (пГ/Г,), где Г - ширина импульса, 1/Г - его амплитуда, а

smc у =

Пу

Огибающая спектра амплитуд серии импульсов, показанная на рис. 2.8, г пунктиром, имеет вид функции sine. Объединяя выражения (2.9) и (2.10), получаем следующее:

Образ Xj( дискретного сигнала находится следующим образом:

(2.11)

x{t) Y,c e

(2.12)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [ 23 ] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358