www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [ 24 ] 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

Для линейных систем операции суммирования и преобразования Фурье можно менять местами. Следовательно, можно записать следующее:

оо П = -оо

Используя свойство переноса частоты преобразования Фурье (см. раздел А.3.2), получаем следующее выражение для ХО):

Д/)= Jc Xif-nf,). (2.14)

П = -оо

Подобно дискретизации с использованием единичных импульсов формула (2.14) и рис. 2.8, е показывают, что Х - это копия X(f), периодически повторяющаяся по частоте с интервалом Гц. Впрочем, при естественной дискретизации видим, что X,(f) взвешена на коэффициенты ряда Фурье серии импульсов, тогда как при дискретизации единичными импульсами имеем импульсы постоянной формы. Отметим, что в пределе, при стремящейся к нулю ширине импульса Г, с стремится к 1/Г, для всех л (см. пример ниже) и уравнение (2.14) переходит в уравнение (2.8).

Пример 2.1. Сравнение дискретизации единичными импульсами и естественной дискретизации

Рассмотрим данный сигнал x{t) и его Фурье-образ X(f). Пусть Xiif) - спектр сигнала jfji(r), являющегося результатрм дискретизации x(t) с помощью серии единичных импульсов Xb(t), а Xs2(J) - спектр сигнала Xs2(), являющегося результатом дискретизации x(t) с помощью серии импульсов Xp(.t), имеющих ширину Г, амплитуду 1/Г и период Г,. Покажите, что в пределе Г О Xiif) = Xif). Решение

Из уравнения (2.8)

и из уравнения (2.14)

Х (/)= Х(/-пЛ)

п ~ -оо

При Г - gt; О амплитуда импульса стремится к бесконечности (площадь импульса постоянна) и x {t) - gt; Xb{t). С помощью уравнения (А. 14) коэффициенты с можно записать как следующий предел:

-г/2 Т. II

= \xdt)e-- fdt.

~т.п



Следовательно, в пределах интефирования (от -Tjl до Г/2) единственный ненулевой вклад в интефал дает значение xil lt;f) = 6(Г); в данном случае можно записать следующее:

-та

b{t)e ft = -.

Получаем, что в пределе для всех п XiiJ) = Xiif). 2.4.1.3. Метод выборка-хранение

Простейшим, а поэтому и наиболее популярным методом дискретизации является выборка-хранение. Описать этот метод можно с помощью свертки серии дискретных импульсов, [x{t)x(,{t)], показанной на рис. 2.6, д, с прямоугольным импульсом p{t), имеющим единичную амплитуду и ширину rj. Эта свертка дает дискретную последовательность импульсов с плоским верхом:

хАПР(1)*М1Ш1)]

= P{t)

x{t)* 8(t-nT,)

(2.15)

Фурье-образ, X,(f), временной свертки в уравнении (2.15) равен произведению в частотной области Фурье-образа P(f) прямоугольного импульса и периодического спектра импульсно-дискретных данных, показанного на рис. 2.6, е:

x(t) 5(г-пГ,)

= P(f)

(2.16)

= Р(Л- 2Х(/-п/,).

Здесь P(J) имеет вид sine JT,. Результатом умножения является спектр, подобный спектру примера естественной дискретизации (рис. 2.8, е). Наиболее явный результат операции хранения - значительное затухание высокочастотных спектральных копий (сравните рис. 2.8, е и 2.6, е), что весьма желательно. Как правило, для завершения процесса фильтрации требуется дополнительная аналоговая фильтрация, позволяющая подавить остаточные спектральные компоненты, кратные частоте дискретизации. Вторичным результатом операции хранения является неоднородное усиление (или подавление) спектра нужной полосы частот за счет функции P(f) (см. формулу 2.16). После фильтрации это подавление можно компенсировать путем применения функции, обратной к P(J).

2.4.2. Наложение

На рис. 2.9 представлено увеличенное изображение рис. 2.7, б, на котором дана положительная половина спектра немодулированного сигнала и одна копия сиг-



нала. Этот рисунок иллюстрирует наложение в частотной области. Перекрывающаяся область, показанная на рис. 2.9, б, содержит ту часть спектра, которая перекрывается вследствие недостаточной частоты выборки. Накладывающиеся спектральные компоненты представляют собой неоднозначную информацию, находящуюся в полосе частот (fs-fm, fm)- Из рис. 2.10 видно, что повышение частоты дискретизации позволяет устранить наложение путем разделения спектральных копий; результирующий спектр, показанный на рис. 2.10, б, соответствует случаю, приведенному на рис. 2.7, а. На рис. 2.11 и 2.12 продемонстрированы два способа борьбы с наложением, в которых используются фильтры защиты от наложения спектров (antialiasing filter). На рис. 2.11 аналоговый сигнал предварительно фильтруется, так что новая максимальная частота / уменьшается до 2 или даже сильнее. Таким образом, поскольку / gt; г/, на рис. 2.11, б уже отсутствуют перекрывающиеся компоненты. Такой метод устранения наложения до дискретизации очень хорошо себя зарекомендовал в области проектирования цифровых систем. При хорошо известной структуре сигнала наложение может устраняться и после дискретизации, для чего дискретные данные пропускаются через фильтр нижних частот [2]. На рис. 2.12, а,б накладывающиеся компоненты удаляются после дискретизации; частота среза фильтра f удаляет перекрывающиеся компоненты; частота / должна быть меньше (/, -/ ). Отметим, что методы фильтрации, применяемые для удаления части спектра, в которой присутствует наложение, на рис. 2.11 и 2.12 приведут к потере некоторой информации. По этой причине частота дискретизации, ширина полосы среза и тип фильтра, выбираемые для конкретного сигнала, не являются независимыми параметрами.

Реализуемые фильтры требуют ненулевой ширины полосы для перехода между полосой пропускания и областью затухания. Эта область называется полосой перехода. Для минимизации частоты дискретизации системы желательно было бы, чтобы фильтры защиты от наложения спектров имели узкую полосу перехода. В то же время при сужении полосы перехода резко возрастает сложность фильтров и их стоимость, так что необходимо принять компромиссное решение относительно цены более узкой полосы перехода и цены высокой частоты дискретизации. Во многих системах оптимальной шириной полосы перехода является 10-20% от ширины полосы сигнала. Рассчитав частоту дискретизации Найквиста для 20%-ной ширины перехода фильтра защиты от наложения спектров, получим инженерную версию критерия Найквиста:

/.2,2/ . (2.17)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [ 24 ] 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358