www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 [ 296 ] 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

Данный текст получен с помощью ключа 2, 4, 8, 16, 6, 18, 20, ... . Стоит отметить, что большинство возможных наборов из 29 символов можно исключить, поскольку они не являются осмысленными сообщениями. Совершенная секретность данного кода - результат того, что перехват шифрованного текста не дает никакой дополнительной информации об открытом сообщении.

Ключ Текст

Рис. 14.5. Пример взлома системы шифрования, если область ключей меньше области сообщений

14.2.2. Энтропия и неопределенность

Как обсуждалось в главе 9, объем информации в сообщении связан с вероятностью появления сообщения. Сообщения вероятности О либо 1 не содержат информации, поскольку можно с известной долей определенности предсказать их появление. Чем больше неопределенности сушествует в предсказании появления сообщения, тем больше оно содержит информации. Следовательно, если все сообщения множества равновероятны, мы не можем быть уверенными в юзможности предсказания появления конкретного сообщения, и неопределенность информационного содержания сообщения является максимальной.

Энтропия И(К) определяется как средний объем информации на сообщение. Она может рассматриваться как мера того, насколько в выбор сообщения X вовлечен случай. Она записывается как следующее суммирование по всем возможным сообщениям.

Я(Х) = -2]p(X)log2 Р(Х) = 2]p(X)log2- (14.5)



Если, как выше, логарифм берется по основанию 2, Н{Х) представляет собой математическое ожидание числа битов в оптимально закодированном сообщении X. Это все еще не та мера, которую хотел бы иметь криптоаналитик. Им будут перехвачены некоторые шифрованные тексты, и он захочет узнать, насколько достоверно он может предсказать сообщение (или ключ) при условии, что был отправлен именно этот конкретный шифрованный текст. Неопределенность, определенная как условная энтропия X при данном Y, является для криптоаналитика более полезной мерой при попытке взлома шифра. Она задается с помощью следующей формулы:

Н(Х IY) = -P(X,Y)log2 P(X,Y) =

, (14.6)

= Y.(Y)Y,P(X\Y)log2

Р(Х I Y)

Неопределенность может рассматриваться как неуверенность в том, что отправлено было сообщение X, при условии получения К Желательным для криптоаналитика является приближение H(X\Y) к нулю при увеличении объема перехваченного шифрованного текста Y..

Пример 14.3. Энтропия и неопределенность

Рассмотрим выборочное множество сообщений, состоящее из восьми равновероятных сообщений {X} = Хи Хг, Xs.

а) Найдите энтропию, связанную с сообщением из множества {X}.

б) Дано другое множество равновероятных сообщений {Y] = Yi, Yt- Пусть появление каждого сообщения Y сужает возможный выбор X следующим образом.

При наличии Yi возможны только Х Хг, Хз или Х При наличии возможны только Х5, Хб, Xj или Xg

Найдите неопределенность сообщения X, обусловленную сообщением Y. Решение

а) Р(Х)=

Н(Х) = 8 log28 =3 бит/сообщение

б) Р(У) = у. Для каждого У, P{X\Y) = j для четырех сообщений из множества {X} и Р(ХУ) = О для оставшихся четырех. Используя уравнение (14.6), получим следующее.

H(X\Y) = 2[()4(log2 4)] = 2 бит/сообщение Видно, что знание У сводит неопределенность X с 3 бит/сообщение до 2 бит/сообщение.

14.2.3. Интенсивность и избыточность языка

Истинная интенсивность языка определяется как среднее число информационных битов, содержащихся в каждом символе, и для сообщения длиной Л выражается следующим образом:

г=. (14.7)

Здесь ЩХ) - энтропия сообщения, или число битов в оптимально закодированном сообщении. Для письменного английского языка при больших N оценки г дают значения



между 1,0 и 1,5 бит/символ [4]. Абсолютная интенсивность или максимальная энтропия языка определяется как максимальное число информационных битов, содержащихся в каждом символе, в предположении, что все юзможные последовательности символов одинаково вероятны. Абсолютная интенсивность задается следующим образом:

r=log2L. (14.8)

Здесь L - число знаков в языке. Для английского алфавита / = log 26 = 4,7 бит/символ. Истинная интенсивность английского языка, конечно, гораздо меньше его абсолютной интенсивности, поскольку, как и большинство языков, английский очень избыточен и структурирован.

Избыточность языка определяется через его истинную и абсолютную интенсивности.

D = r-r (14.9)

Для английского языка, где г=4,7 бит/символ и г= 1,5 бит/символ, D = 3,2, а отношение D/r= 0,68 - это мера избыточности языка.

14.2.4. Расстояние единственности и идеальная секретность

Ранее утверждалось, что если допускаются сообщения неофаниченной длины, то совершенная секретность требует бесконечного количества ключей. При конечном размере ключа его неопределенность H{fC[Q обьино приближается к нулю, откуда следует, что ключ может быть определен единственным образом, а система шифрования может быть взломана. Расстояние единственности (unicity distance) определяется как наименьшая длина шифрованного текста N, при которой неопределенность ключа Н{К\С) близка к нулю. Следовательно, расстояние единственности - это количестю шифрованного текста, необходимое для того, чтобы однозначно определить ключ и таким образом взломать систему шифрования. Шеннон (Siiennon) [5] описал систему с идеальной секретностью как систему, в которой Н{К\С) не стремится к нулю, если количестю шифрованного текста стремится к бесконечности. Иными словами, ключ не может быть определен, независимо от того, сколько шифрованного текста перехвачено. Термин идеальная секретность описывает систему, которая не достигает совершенной секретности, но, тем не менее, не поддается взлому (безусловно защищенная система), поскольку она не дает достаточно информации для определения ключа.

Большинстю систем шифрования слишком сложны для определения вероятностей, необходимых для вычисления расстояния единственности. В то же время расстояние единственности иногда можно аппроксимировать, что бьшо показано Шенноном [5] и Хэллма-ном (Hellman) [6]. Следуя Хэллману, предположим, что каждый открытый текст и шифрованное сообщение получены с помощью конечного алфавита из L симюлов. Таким образом, всего существует 2 юзможных сообщений длиной N, где абсолютная интенсивность языка. Всю область сообшений можно разделить на два класса - осмысленные сообщения Ml и бессмысленные сообщения Мг. Тогда имеем

число осмысленных сообщений (14.10)

число бессмысленных сообщений 2 - 2, (14.11)

где г - истинная интенсивность языка, а априорные вероятности классов сообщений описываются следующими выражениями.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 [ 296 ] 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358