www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 [ 303 ] 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

Такая система обычно способна обеспечивать защищенность переговоров между пользователями, которые никогда ранее не встречались или не общались. Например, как показано на рис. 14.17, пользователь А может послать сообщение пользователю В, найдя ключ щифрования пользователя В в каталоге и используя алгоритм шифрования Ев. Получив таким образом шифрованный текст С = Ев{Щ, он передает его через общедоступный канал. Пользователь В - это единственный человек, который может дешифровать сообщение С, чтобы в результате получилось М = Пв(С), с помощью своего алгоритма дешифрования Dg.

14.5.1. Проверка подлинности подписи с использованием криптосистемы с открытым ключом

На рис. 14.18 изображено применение криптосистемы с открытым ключом для проверки подлинности подписи. Пользователь А подписывает свое сообщение, используя свой алгоритм дешифрования Da, что дает S = = Еа\М). Затем для шифрования S он воспользуется алгоритмом щифрования Ев пользователя Вив результате получит сообщение С = в(5) = EbIEaM)] , которое он передает через общедоступный канал. Когда пользователь В получает сообщение С, он сначала дешифрует его с помощью собственного алгоритма дешифрования Dg, что дает Db{Q = Еа{М). Затем он использует алгоритм щифрования пользователя А, в результате чего получает Еа[Еа\Щ\ -М.

Если в результате получается вразумительное сообщение, оно точно было послано пользователем Л, поскольку больше никто не знает секретного кода шифрования пользователя А, с помощью которого выполняется преобразование 5 = Da(M). Отметим, что сообщение S зависит и от сообщения, и от подписи, а это означает, что не только В может быть уверен, что сообщения действительно приходят от А, но и Л уверен, что никто, кроме В, не сможет прочесть это сообщение.

Дата

Крипто-машина

S = Ea\M)

Каталог

Крипто-машина

С-Ев(Еа(М)) Канал общего пользования

с=Ев{Еа Лт

Крипто-машина

S = Ea\M)

Каталог

Крипто-машина

Еа J

Банк

подписей

Рис. 14.18. Проверка подлинности подписи с использованием криптосистемы с открытым ключом

1Д 1ГЧ1ЛПХПГМГХС1К



14.5.2. Односторонняя функция с лазейкой

Криптосистемы с открытым ключом основаны на понятии односторонних функций с лазейками . Определим одностороннюю функцию как легко вычисляемую, для которой невозможно вычислить обратную. Рассмотрим, например, функцию у = + 12л + 107х+ 123. Должно бьпъ очевидно, что при данном х легко вычислить у, но при данном у относительно сложно вычислить х. Односторонняя функция с лазейкой - это односторонняя функция, для которой легко вычислить обратную, если известны некоторые особенности, используемые для создания функции. Как и лазейка, такие функции легко проходимы в одном направлении. Обратный процесс без специальной информации занимает невероятно много времени. Понятие лазейки будет применено в разделе 14.5.5, когда будет обсуждаться схема Меркла-Хэллмана (Merkle-Hellman).

14.5.3. Схема RSA

Сообщения в схеме Ривеста-Шамира-Адельмана (Rivest-Shamir-Adelman - RSA) сначала представляются как целые числа из интервала (О, п - 1). Каждый пользователь выбирает собственное значение п и пару положительных целых чисел е к d описанным ниже способом. Пользователь помещает свой ключ шифрования, числовую пару (и, е), в общедоступный каталог. Ключ дешифрования состоит из числовой пары (п, d), в которой d держится в секрете. Шифрование сообщения М и дешифрование шифрованного текста С определяются следующим образом:

Шифрование: С = Е{М) = {Mf по модулю п

(14.32)

Дешифрование: М = D{Q = (С) по модулю п

Это легко вычислить. Результатом каждой операции являются целые числа из интервала (О, и - 1). В схеме RSA п получается в результате перемножения двух больших простых чисел р и q.

n-pq (14.33)

Несмотря на то что п общедоступно, р vi q являются скрытыми из-за большой сложности в разложении п на множители. Затем определяется функция, называемая функцией Эйлера.

ф( laquo;) = (р-1)(9-1) (14.34)

Параметр ф(п) имеет интересное свойство [12]: для любого целого X из интервала (О, и - 1) и любого целого к имеет место следующее соотношение.

X = ) по модулю и (14.35)

Следовательно, если все остальные арифметические действия выполняются по модулю и, арифметические действия в степени выполняются по модулю ф(п). Затем случайным образом выбирается большое целое число d, являющееся взаимно простым с ф( laquo;); это означает, что ф( laquo;) и не должны иметь общих делителей, отличных от 1. Это записывается следующим образом.

ПОД [ф(и), d\ = 1 (14.36)



в данном случае НОД означает наибольший общий делитель . Этому условию будет удовлетворять любое простое число, большее наибольшего из (р, q). Далее находится целое е,0 lt;е lt; ф(/1),

ed по модулю ф(и) =1, (14.37)

что, вследствие равенства (14.35), равносильно выбору end, которые удовлетворяют следующему условию:

Х = Х по модулю и. (14.38)

Следовательно,

E[D{X)] = D[E(X)] = X (14.39)

и возможно корректное дешифрование. Один из возможных способов взлома шифра при данном ключе (п, е) - это разложить п на множители ряд, вычислить ф(и) = (р- l)(q- 1) и вычислить d из равенства (14.37). Все это, за исключением разложения п на множители, представляет собой простые действия.

Схема RSA основывается на том, что два больших простых целых числа ряд легко выбрать и перемножить, но гораздо сложнее разложить на множители результат. Следовательно, произведение, как часть ключа шифрования, может быть сделано общедоступным, в то время как множители, которые могут разоблачить ключ дешифрования, соответствующий ключу шифрования, остаются скрытыми. Если длина каждого множителя составляет порядка 100 разрядов, умножение может быть выполнено в доли секунды, а изнурительное разложение на множители результата может потребовать миллиарды лет [2].

14.5.3.1. Использование схемы RSA

Используя пример из работы [13], положим р = 47, = 59. Следовательно, п = рд = 1773 и ф(/1) =(р- Щд - 1) = 2668. Параметр d выбирается взаимно простым с ф(и). Например, выберем rf=157. Затем вычислим значение е следующим образом (подробности приведены в следующем разделе).

ed по модулю ф(п) = 1 157е по модулю 2688 = 1 Следовательно, е = 17. Рассмотрим пример открытого текста.

ITS ALL GREEK ТО ME

Если заменить каждую букву двухразрядным числом из интервала (01, 26), соответствующим ее позиции в алфавите, и закодировать пробел как 00, открытое сообщение можно записать следующим образом:

0920 1900 0112 1200 0718 0505 1100 2015 0013 0500

Каждый символ выражается целым числом из интервала (О, п -1). Поэтому в данном примере шифрование может быть представлено в виде блоков по четыре разряда, так как это максимальное число разрядов, которое всегда дает число, меньшее и -1 = 2772. Первые четыре разряда (0920) открытого текста шифруются следующим образом:

С = (М) по модулю п = (920) по модулю 2773 = 948. Продолжая этот процесс для оставшихся разрядов открытого текста, получим следующее:

14 кпиптпгигтрмы г. птпк1ткмм (ппчпми 939



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 [ 303 ] 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358