www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 [ 334 ] 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

темы (1) схематически проиллкклрировано на рис. А.1. Пусть на вход системы подается произвольный периодический сигнал с периодом 7 секунд. Методы Фурье-анализа, как показано на рисунке, позволяют описать подобный вход как сумму синусоидальных сигналов. Наименьшая (или собственная) частота этих сигналов - 1/Г Гц; остальные частоты, кратные ей (2/Го, 3/Го,...), называются гармониками. Важной особенностью линейной системы является принцип суперпозиции - реакция на сумму сигналов равна сумме откликов на каждый сигнал. Фактически это свойство используется как определение линейности. Математически система линейна, если для всех а, Ь, xi(0 и 2(0

yi(0 - реакция системы Haxi(r);

yi{t) - реакция системы на X2(t);

ayiit) + byi{t) - реакция системы на axiit) + bxiit).

Входной сигнал

п п

Го секунд

Равно

Линейная система

Выходной сигнал

Равно

Линейная система

/ \

лллллллл, f= тгц

Рис. А. 1. Предсказание реакции системы

Данное определение свидетельствует о том, что отклик линейной системы с входными синусоидальными сигналами должен составляться из синусоидальных сигналов с теми же частотами, что и у входных сигналов; обычно подобная система задается частотной передаточной функцией (частотной характеристикой), описываюшей изменение амплитуды и фазы сигнала на выходе схемы в зависимости от частоты, как показано на рис. А.2. На рис. А.2, а представлена характерная зависимость амплитуды передаточной функции от частоты; на рис. А.2, б показана зависимость фазы передаточной функции от частоты.

Передаточная функция является рабочей характеристикой системы, т.е. описывает отклик системы на каждую синусоиду. Следовательно, имея передаточную функцию системы, можно предсказать каждый выходной компонент. В соответствии с принципом суперпозиции эти отклики суммируются, что дает реакцию системы на входной периодический сигнал (рис. А.1). Подобным образом, зная входной и выходной сигналы, можно определить передаточную функцию системы.

Развитие методов Фурье-анализа оказало большое влияние на анализ линейных систем; оно позволило связать переходные процессы и методы работы с гармониче-



скими функциями, а также упростило анализ линейных систем при возбуждении их произвольным входным сигналом. Как логарифм позволяет заменить операцию умножения операцией сложения, так и методы Фурье-анализа позволяют заменить сложные сигналы и их анализ гармоническими составляющими и методами гармонического анализа.


Рис. А.2. Передаточная функция системы: а) амплитудная характеристика; б) фазовая характеристика

А.2.1. Разложение в ряд Фурье

Периодические сигналы с конечной энергией, передаваемой за период, можно представить в виде ряда Фурье. Произвольный периодический сигнал х(А.) выражается через бесконечное число гармоник с возрастающими частотами.

(А.1)

х(к) = Y ао + cos X + Дг cos 2 gt;. + дз cos + ... + + bi sin Я.+ 2 sin 2Я.+ bj, sin 3A.+ ...

Функции cos Я. и sin Я. называются основными; функции cosnA. и sinnX при п gt; 1, где п- целое, именуются гармоническими. Члены а и 6 представляют коэффициенты (амплитуды) гармоник, а у до - это постоянная составляющая.

Период функции xQC) должен равняться 2л или величине, кратной 2л; кроме того, функция х{Х) должна быть однозначной. Ряд Фурье можно рассматривать как рецепт приготовления любого периодического сигнала из синусоидальных составляющих. Чтобы данный ряд имел практическое значение, он должен сходиться, т.е. суммы ряда, как и гармоники с увеличением номера, должны иметь предел.

Процесс создания произвольного периодического сигнала из коэффициентов, описывающих смешиваемые гармоники, называется синтезом. Обратный процесс вычисления коэффициентов именуется анализом. Вычисление коэффициентов облегчается тем, что среднее от перекрестных произведений синусоиды на косинусоиду (а также среднее любой синусоиды или косинусоиды) равно нулю. Ниже приводятся формулы, иллюстрирующие основные свойства средних от гармонических функций.



sin mXdk = 0

-ж it

COS ink dk = 0

Sin inX COS nXdk = 0 sin mX sin nXcD-O

COS mX cos nXdX = 0

где Ш и и - любые целые

(А.2)

при тФп

(А.З)

-к тс

(sin mXfdX = л (со5шЯ.)Л = л

при ш = п

(А.4)

Рассмотрим, как вычисляются значения коэффициентов а или ft в формуле (А.1). Например, для вычисления коэффициента яз обе части формулы (А.1) можно умножить на cos 3XdX, а затем проинтегрировать.

тс тс

Jx(A.) co%3Xdk =

\aQC0s3Xdk+ ajCoscos3A.dX +

2 cos 2A, cos ЪХ dX +

a(cos3Xf dX + ...

bi sin A, cos ЗЯ. + 2 sin 2A, cos ЗА, +

с -тс

3 sin 3 cos 3XdX + ...

x( gt;.) cos 3XdX= йз (cos ЗХ) dX = an



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 [ 334 ] 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358