www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 [ 335 ] 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

х(Х.) cos ЗХ dk

Полученный вывод можно обобщить.

х(Х) COS nXdk (А.5)

= Л J

Ь =- \х{Х) sin nXdk (А.б)

Коэффициент ао находится из (А.5) при и = 0. В результате получаем

х(Х) dX. (АЛ)

, 1

2 laquo;0= -

Данное выражение - это постоянная составляющая, или среднее значение периодического сигнала. Уравнение (А.1) можно записать в более компактной форме.

х{Х) = уДо + ( laquo;п COS пХ + Ь sin пХ) (А.8)

п = 1

Существует несколько способов записи пары преобразований (анализа и синтеза) Фурье. Наиболее распространенная форма - это выражение синуса и косинуса в экспоненциальном виде:

л -л

cos?. =---, (А.9)

smX =-. (А. 10)

Периодическая функция с периодом То секунд имеет следующие частотные компоненты - /о, 2/о, З/о,где/о= 1/Го называется собственной частотой. Иногда частотные компоненты записывают как щ, 2щ, Зщ, где щ = 2п1То именуется собственной угловой частотой; частота/измеряется в герцах, частота со - в радианах в секунду. Заменим пХ в аргументах гармонических функций в формулах (А.5)-(А.8) на 2nnfy=2nndTo, где п - целое. При и = 1, п/о представляет собственную частоту, а при и gt; 1 - гармоники собственной частоты. Используя формулы (А.8)-(А.10), можно записать x(t) в экспоненциальной форме.

() +j;[( laquo; - .ftje + (fl + iftje- --] (A.11)

n = l

Обозначим через c комплексные коэффициенты, или спектральные компоненты x(t), связанные с коэффициентами а и Ь следующим образом:



прип gt;0 прия = 0. прип lt;0

Теперь формулу (А. 11) можно упростить.

(А. 12)

(А. 13)

Здесь амплитуды экспоненциальных гармоник определяются следующим образом:

(А. 14)

-Го/2

Для проверки справедливости формулы (А. 14) умножим обе части выражения (А. 13) на e dt/To, проинтефируем на интервале (-Т(/2, Tf/2) и используем следующую формулу:

Г /2

L L2,t,(nm)/o,,5 jl при n = m То J [о прилет

-TqI2

(А.15)

Здесь 8;от называется делыпа-функцией Кронекера. После выполнения указанных действий получаем

7-0 J

(A.16)

-Го/2

для всех целых т. В общем случае коэффициент с - комплексное число, которое можно записать следующим образом:

в = arctg

(А. 17) (А.18)

(А. 19) (А.20)

bo = 0 и Со=-.

Значение с -амплитуда я-й гармоники периодического сигнала, так что график зависимости с от частоты, называемый амплитудным спектром, дает амплитуду каждой



из п дискретных гармоник сигнала. Подобным образом график зависимости 0 от частоты, именуемой фазовьш спектром, дает фазу каждой гармоники сигнала.

Коэффициенты Фурье вещественной периодической по времени функции обладают следующим свойством:

с-п=с:, (А.21)

где с* - комплексно сопряженное с . Таким образом, получаем следующее:

с- = 1с . (А.22)

Амплитудный спектр является четной функцией частоты. Подобным образод! фазовый спектр 9 - это нечетная функция частоты, поскольку из формулы (А.20) следует, что

в = -в . (А.23)

Итак, как отмечалось выше, ряды Фурье особенно полезны при описании произвольных периодических сигналов с конечной энергией каждого периода. Кроме того, они могут использоваться для описания непериодических сигналов, имеющих конечную энергию на конечном интервале. Впрочем, для таких сигналов более удобным является представление в виде интеграла Фурье (см. раздел А.2.3).

А.2.2. Спектр последовательности импульсов

В цифровой связи весьма важным сигналом является идеальная периодическая последовательность прямоугольных импульсов, показанная на рис. А.З. Для коэффициентов ряда Фурье последовательности импульсов (0 с периодом То (кажДый импульс имев* амплитуду А и длительность Т) справедливо следующее выражение (проверить спра-ведливость можно с помощью формул (А. 14) и (А. 10)):

AT sin(nnT/To) AT . пТ

с =--=-sine -

То ппТ/То То То

(А.24)

хр(0

-Т/г т/2

--То--

В данном выражении

Рис. А.З. Последовательность импульсов

sin(Ky) sine у = - пу

функция sine, как показано на рис. А.4, достигает максимума (единицы) при у = 0 и стремится к нулю при у - gt; plusmn;оо, осциллируя с постепенно уменьшающейся амплитудой. Через нуль она проходит в точках у = plusmn;1, plusmn;2, .... На рис. А.5, а как функция от-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 [ 335 ] 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358