www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 [ 339 ] 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

Значение интеграла свертки в момент времени г = /, получается из формулы (А.44), в которой положено / = /,. Это просто площадь под кривой произведения v(t) на h(ti-x), показанного на рис. А.12, г. Подобным образом интеграл свертки, взятый в момент t = t2, равен заштрихованной площади на рис. А.12, д. На рис. А.12, е приведен график отклика на выходе схемы при квадратном импульсе на входе, показанном на рис. А.12, а. Каждое вычисление интеграла свертки для некоторого момента времени /, дает одну точку ;(/,) графика на рис. А.12, е.

А.5.2. Свертка по времени

Если jc,(0 lt;- gt; Xiif) и 2(0 lt; Xiif), то

Xi(t)*x2(.t)= jxi(z)x2(t-x)ch

-оо оо оо

5{x,(0*X2(/)}= J jx,(T)x2(t-T)dTe-dt

- оо-оо

Для линейных систем порядок интегрирования можно изменить.

оо оо

S{x,(t) * X2(t)]= Jx,(T)rfT jx2(t - x)e- fdt (A.46)

В соответствии со свойством сдвига во времени второе интегральное выражение правой части можно заменить на X2{f)e~.

Щх, (О * x,(О} = X,(/) ]дг,{т)е-Чх = .

= хт2(Л

Следовательно, операцию свертки во временной области можно заменить умножением в частотной области.

А.5.3. Свертка по частоте

Можно показать, что, вследствие симметрии пары преобразований Фурье (формулы (А.26) и (А.27)), умножение во временной области переходит в свертку в частотной области.

Xi(t)x2(t)Xi(f)*X2(f) (А.48)

Данная замена умножения в одной области сверткой в другой весьма удобен, поскольку, как правило, одну из этих операций выполнить значительно проще, чем другую. Например, ранее говорилось, что Хевисайд использовал свертку для определения тока на выходе линейной системы при подаче на вход произвольного переменного напряжения. Подобные методы часто включают вычисление (иногда трудоемкое) свертки входного сигнала с импульсной характеристикой системы. Поскольку, как видно из формулы (А.47), свертка во временной области заменяется умножением в частотной, для линейной системы спектр входного сигнала можно просто умножить

А.5.Свеотка ...



на передаточную функцию системы. Выходной сигнал затем получается путем применения к произведению обратного преобразования Фурье.

т = ГНУфНф} (А.49)

Вычислить выражение (А.49) часто намного проще, чем (А.45). В то же время, при определенных обстоятельствах, операция свертки настолько проста, что ее можно выполнить графически, просто внимательно изучив соответствующий график. Предположим, что некоторый произвольный сигнал необходимо умножить на косинусоиду фиксированной частоты, например несущую (если речь идет о модуляции). С помощью формулы (А.48) спектр произвольного сигнала можно свернуть со спектром косинусоиды, что, как показывается в следующем разделе, выполняется довольно просто.

А.5.4. Свертка функции с единичным импульсом

При использовании свойства, представленного в формуле (А.47), очевидно, что если и

8(0 1,

40*5(0Х(/). (А.50)

Также должно быть очевидно, что

x(t)*m = x(t) (А.51)

Х(/)*5(/) = Х(/). (А.52)

Следовательно, можно сделать вывод, что свертка функции с единичным импульсом дает исходную функцию. Простое развитие формулы (А.52) дает следующее:

m*-fo) = X(f-fo). (А.53)

На рис. А. 13 показано, насколько просто произюдится свертка спектра произвольного сигнала со спектром косинусоиды. На рис. А. 13, а представлен спектр Хф произвольного узкополосного сигнала. На рис. А.13, бпоказан спектр Yф = ?)(f-fo) + ?)(f+f, = d{2coi2%fy}.

Выход Щ = Хф * Уф на рис. А.13, в получается при свертке спектра сигнала с импульсной функцией Уф, согласно формуле (А.53), где импульсы действуют как стробирующие функции. Следовательно, в данном простом примере свертку можно выполнить графически, протягивая стробирующие импульсы через спектр сигнала. Умножение на импульсные функции на каждом шаге протягивания приюдит к повторению спектра сигнала. Результат, показанный на рис. А.13, в, - это версия исходного спектра Хф, смещенная к месторасположению импульсных функций, изображенных на рис. А.13, б.

А.5.5. Применение свертки при демодуляции

В разделе А.5.4 рассматривался сигнал, умноженный на 2 cos 2%fy. Было показано, как в частотной области выглядит свертка спектра сигнала со спектром косинусоиды. В данном разделе рассматривается обратный процесс. Необходимо демодулировать сигнал, умноженный на 2 cos 2%fy (сигнал нужно восстановить в его изначальном диапазоне частот).



L А Т А

fo -fo о fo

б) в)

Рис. л. 13. Свертка спектра сигнала со спектром косинусоиды

На рис. А. 14, а представлен спектр, Z(J), сигнала, смещенного вверх по частоте. Можно демодулировать данный смещенный сигнал и восстановить исходный сигнал, умножив данный сигнал на 2 cos Infy. Вместо этого мы можем проиллюстрировать процесс детектирования в частотной области, свернув Z(f) со спектром несущей, Y(J) = 8(f-fo) + 8{f+fo), показанным на рис. А. 14, б.

Z(f)

А Т А

y(f)

о б)

X{f)=Z{f)*Y{f\ 2i

-2fo

О В)

Рис. А. 14. Применение демодуляции Использование формул (А.52) и (А.53) позволяет записать следующее:

X(f-fo) * 5(f-fx)=X(f-fo -/,).

(А.54)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 [ 339 ] 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358