www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 [ 341 ] 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Основы теории принятия статистических решений

Основными элементами задачи статистического принятия решений являются (1) набор гипотез, описывающих возможные истинные состояния природы, (2) тест, дающий данные, из которых мы можем сделать логический вывод, (3) правило принятия решения, применяемое к данным и определяющее, какая гипотеза наилучшим образом описывает состояние природы, и (4) критерий оптимальности. Все они рассматриваются ниже. Критерий оптимальности для правила принятия решения выбирается так, чтобы минимизировать вероятность принятия ошибочного решения, хотя возможны и другие критерии [1].

Предмет теории принятия статистических решений и проверки гипотез основывается на математической дисциплине теория вероятностей и случайных переменных. Предполагается, что читатель знаком с этим; в противном случае рекомендуется работа [2].

Б. 1. Теорема Байеса

Математические основы проверки гипотез базируются на теореме Байеса, которая следует из определения отношения между условной вероятностью и совместной вероятностью случайных переменных Avi В.

Р{А\В)Р{В) = Р{В\А)Р{А) = Р{А, В) (Б.1)

Теорема формулируется следующим образом:

тт-. (Б.2,

Теорема Байеса позволяет выводить условную вероятность Р(А\В) из условной вероятности Р(ВА).



Б. 1.1. Дискретная форма теоремы Байеса

Теорему Байеса можно записать в дискретной форме следующим образом:

Pij)=- = l,...,I (5.3)

P{Zj) Y,P{Zj\Si)P{Si) .

1 = 1

В приложениях связи Sj - это /-Й класс сигнала из набора М классов, а Zj - j-я выборка принятого сигнала. Уравнение (Б.З) можно рассматривать как описание эксперимента, в котором задействована принятая выборка и некоторые статистические знания о классах сигнала, к которым может принадлежать эта принятая выборка. До эксперимента вероятность появления (-го класса сигнала P{si) называется априорной. В результате изучения конкретной принятой выборки Z; из плотности условной вероятности PCz/j,) можно найти статистическую меру правдоподобия принадлежности z, к классу s,. После эксперимента можно вычислить апостериорную вероятность P{s\zj), которую можно рассматривать как уточнение нащих априорных знаний. Таким образом, к эксперименту мы приступаем, имея некоторые априорные знания, касающиеся вероятности состояния природы, а после изучения выборочного сигнала получаем апостериорную ( после сверщения ) вероятность. Параметр P{Zj)- это вероятность принятой выборки Zj во всем пространстве классов сигналов. Эту величину, P{zj), можно рассматривать как масштабный множитель, поскольку его значение одинаково для всех классов сигнала.

Пример Б.1. Использование (дискретной формы) теоремы Байеса

Имеется два ящика деталей. Ящик 1 содержит 1000 деталей, 10% из которых неисправны, а ящик 2 - 2000 деталей, из которых неисправными являются 5%. Если в результате случайного выбора ящика и детали из него деталь оказывается исправной, то чему равна вероятность того, что данная деталь взята из ящика 1?

Решение

P(ящикlИД)=Дl- -)- -

РШ)

где ИД означает исправная деталь .

/(ИД) = /(ИДящик 1)/(ящик 1) + /(ИДящик 2)/(ящик 2) = = (0,90)(0,5) + (0,95)(0,5) = = 0,450 + 0,475 = 0,925

Р(ящик 1 ИД) = = 0,486

До эксперимента априорные вероятности выбора ящика 1 или 2 равны. После получения исправной детали вычисления, проведенные согласно теореме Байеса, могут рассматриваться как способ точной подстройки нашего представления о том, что Р(ящик 1) = 0,5, в результате которой возникает апостериорная вероятность 0,486. Теорема Байеса - это просто формализация здравого смысла. Если была получена исправная деталь, то не кажется ли вам



(интуитивно), что она с большей вероятностью могла быть взята из яшика с более высокой концентрацией исправных деталей и с меньшей- из ящика с меньшей концентрацией? Теорема Байеса уточняет априорную статистику выбора ящиков, порождая апостериорную статистику.

Пример Б.2. Применение теории принятия решений в теории игр

В ящике находится три монеты: обычная, с двумя орлами и с двумя решками. Вам предлагается случайным образом вытянуть одну монету, взглянуть на одну ее сторону и угадать, что находится на другой стороне. Какой стратегии лучше всего придерживаться?

Решение

Данную задачу можно рассматриваться как задачу детектирования сигнала. Сигнал передается, но вследствие шума канала принятый сигнал не совсем отчетлив. Невозможность взглянуть на обратную сторону монеты равносильна приему сигнала, возмущенного шумом. Пусть Я; представляет гипотезу (( = Я, О, Р), где индексы П, О и Р обозначают правильную монету, монету с двумя орлами и монету с двумя решками.

Нп = 0,Р (правильная монета)

Но-О, О (монета с двумя орлами)

Нр = Р,Р (монета с двумя решками)

Пусть Zi представляет принятую выборку (/ = О, Р), где zo - орел, azp- решка. Пусть априорные вероятности гипотез равновероятны, так что РЩ) = РЩо) - Р(.Нр) = 1/3. Используем теорему Байеса.

Нам необходимо вычислить вероятности всех гипотез для всех классов сигнала. Следовательно, нам нужно изучить результаты шести вычислений, после чего мы сможем установить оптимальную стратегию принятия решения. В каждом случае значение P(z,\Hi) можно вычислить из условных вероятностей, изображенных на рис. Б.1. Пусть мы выбрали монету и увидели орел (Zo), тогда вычисление трех апостериорных вероятностей дает следующие результаты:

P(Hp\zo) = 0.

Если принятой выборкой является решка (Zp), вычисления дают следующее:

nH \zj,

P(Ho\zp) = 0, PiHjzJ = .



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 [ 341 ] 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358