www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 [ 342 ] 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

P{Zj\H )

I j

P{2,\Ho)

P(ryl Hp)

Puc. Б.1. Условная вероятность P{zjfi,): a) для правильной монеты; б) для монеты с двумя орлами; в) для монеты с двумя решками

Таким образом, оптимальной стратегаей принятия решения является следуюшая: если принят орел (zo), выбрать гапотезу Но (соответствуюшую монете с двумя орлами); если принята решка (zp), выбрать гапотезу Hp (соответствующую монете с двумя решками).

Б.1.2. Теорема Байеса в смешанной форме

Для большинства приложений связи, представляющих практический интерес, возможньге значения принятой выборки принадлежат непрерывному диапазону (причина- наличие в канале связи аддитивного гауссового шума). Следовательно, наиболее полезная форма теоремы Байеса содержит платность вероятности с непрерьшными, а не дискретными значениями. Изменим соответствующим образом формулу (Б.З):

(Б.4)

Piz) м

P(z) = 2Ip(I.)(.)-( = 1

Здесь p{z\s,)- плотность условной вероятности принятой выборки z (принимающей значения из непрерывного диапазона) при условии принадлежности к классу сигнала S,.



Пример Б.З. Наглядное представление теоремы Байеса

Даны два класса сигаала S\ и 2, которые описываются треугольными функциями плотности условной вероятности p(z\s\) и piz\s2), показанными на рис. Б.2. Принят некоторый сигнал; он может иметь любое значение по оси z. Если функции плотности вероятности не перекрываются, сигаал можно классифицировать однозначно. В данном же примере, приведенном на рис. Б.2, нам требуется правило, которое позволит классифицировать принятые сигналы, поскольку некоторые из них попадут в область перекрывающихся функций плотности вероятности. Рассмотрим принятый сигнал z. Пусть два класса сигаалов si и 2 являются равновероятными. Нужно вычислить две возможные апостериорные вероятности и предложить правило принятия решений, которое следует использовать при определении принадлежности сигаала z к определенному классу. То же самое нужно сделать для сигаала Zb-


Га Zb (Принятые выборки) Рис. Б.2. Наглядное представление теоремы Байеса

Решение

Из рис. Б.2 видим, что p(Zals\) = 0,5 и p(Zals2) = 0,3. Следовательно,

p(zAs,)P(s,)

p(zJs,)P(s)+p(zJs,)P(s,)

(0(0,5)

(0,5)(0,5)-К0,3)(0,5) 8

(0,3)(0,5)

(0,5)(0,5)-К0,3)(0Л 8

Одно из юзможных правил -определять принятый сигаал к классу с максимальной апостериорной вероятностью (классу s\). Эквивалентное правило, для равных априорных вероятностей,- это исследовать значение функции плотности вероятности, обусловленной каждым классом сигналов (назьшаемой правдоподобием класса сигаалов), и выбрать класс с максимальным значением. Рассмотрим рис. Б.2 и отметим, что правило максималыюго правдоподобия соответствует нашей интуиции. Правдоподобие принадлежности сигаала Za к каждому классу сигаалов соответствует обведенной кружком точке на каждой функции плотности вероятности. Правило максимального правдоподобия заключается в выборе класса сигаалов, дающего максимальную условную вероятность из всех имеющихся. Повторим вычисления для принятого сигаала z

Pis,\Zb) =

(0,7)(0,5)

(0,7)(0,5) + (0,1)(0,5) 8

P{s2\Zb) =

(0,1)(0,5) 1 (0,7)(0,5)-К0,1)(04) 8



Как и ранее, правило максимального правдоподобия указывает нам выбрать класс сигналов S\. Заметим, что при принятии выборки Zb мы более уверены в точности нашего выбора, по сравнению с принятием сигнала z . Это объясняется тем, что отношение p(Zb\sO к p(zi,\s2) существенно больше отношения p(.Za\si) к piz \s2).

Б.2. Теория принятия решений

Б.2.1. Элементы задачи теории принятия решений

После того как мы описали проверку гипотез на основе статистики Байеса, перейдем к рассмотрению элементов задачи теории принятия решений в контексте системы связи, как показано на рис. Б.З. Источник сигнала в передатчике содержит множество {s,(t)}, /= 1,Л/ сигналов (или гипотез). Принимается сигнал rij) = s/t) + n(t), где n(t) - присутствующий в канале аддитивный белый гауссов шум (additive wiiite Gaussian noise - AWGN). В приемнике сигнал сокращается до единственного числа z(t = T), которое может принимать любое значение. Поскольку шум является гауссовым процессом и приемник предполагается линейным, выход z(f) также есть гауссовым процессом [1], а число z(T) - случайной переменной, принимающей значения из непрерывного диапазона.

ziT) = a,iT) + nT)

(Б.5)

Выборка ziT) состоит из сигнального компонента a/J) и шумового компонента по(Г). Время Т-это длительность символа. В каждый момент времени кТ, где к-целое, приемник использует правило принятия решения для определения принадлежности принятого сигнала к определенному классу сигнала. Для простоты записи выражение (Б.5) иногда используют в виде z=a, + no, где функциональная зависимость от Тне выражается явно.

n(t)

Источник

Siit) ,

сигналов

Гауссов процесс шума

Пространство наблюдений (приемник)

Конечное множество гипотез(сигналов)

Мгипотез

г(Г)=аДГ) + по(Г)

Правило принятия решений

Мсигналов

решение Н, /=1.....М

Рис. Б.З. Элементы задачи теории принятия решений в контексте системы связи

Б.2.2. Проверка методом отношения правдоподобий и критерий максимума апостериорной вероятности

При определении правила принятия решения для двух классов сигналов разумно начать со следующего соотношения;



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 [ 342 ] 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358