www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 [ 343 ] 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

P(s, I z) P(s, 1 z) (Б.6)

Выражение (Б.6) - это сокращенная запись следующего утверждения: выбрать гипотезу Яь если апостериорная вероятность P(si\z) больще апостериорной вероятности P(s2\zy, в противном случае выбрать гипотезу Яг .

Апостериорные вероятности в формуле (Б.6) можно заменить эквивалентными выражениями, полученными из теоремы Байеса (уравнение (Б.4)), что дает следующее:

P(z\s,)P(s,)P(z\s,)P(s,). (Б.7)

Итак, у нас есть правило принятия рещения, выраженное через плотности вероятности (правдоподобия). Если переписать выражение (Б.7) и привести его к следующему виду

(Б.8)

то отнощение в левой части будет называться отношением функций правдоподобия, а все выражение часто именуют критерием отношения функций правдоподобия. Выражение (Б.8) - это принятие рещений на основе сравнения принятого сигнала с порогом. Поскольку проверка опирается на выбор класса сигналов с максимальной апостериорной вероятностью, критерий принятия решения часто называется критерием максимума апостериорной вероятности (maximum а posteriori - MAP). Другое название - критерий минимума ошибки, поскольку в среднем он дает минимальное количество неверных решений. Стоит отметить, что данный критерий является оптимальным, только если ошибки всех типов наносят одинаковый вред (или имеют равную цену). Если ошибки некоторых типов обходятся дороже других, необходимо применять критерий, который учитывал бы относительные стоимости ошибок [1].

Б.2.3. Критерий максимального правдоподобия

Довольно часто сведения об априорных вероятностях гипотез или классов сигналов отсутствуют. Даже при наличии такой информации ее точность иногда вызывает сомнения. В таких случаях решения обычно принимаются исходя из предположения о возможности наиболее выгодной априорной вероятности; иными словами, значения априорных вероятностей выбираются так, чтобы классы были равновероятными. Если выбран такой подход, то критерий принятия решения является критерием максимального правдоподобия, и выражение (Б.8) записывается в следующем виде:

gt; 1. (Б.9)

Отметим, что критерий максимального правдоподобия, приведенный в выражении (Б.9), аналогичен правилу максимального правдоподобия, описанному в примере Б.З.



Б.З. Пример детектирования сигнала

Б.3.1. Двоичное решение по принципу максимального правдоподобия

В наглядном представлении процесса принятия решения (пример Б.З) фигурировали треугольные функции плотности вероятности. На рис. Б.4 приведены функции плотностей условных вероятностей для двоичных выходных сигналов, искаженных шумом: z(T) = laquo;1 + Ио и г{Т) -02 + По. Сигналы и laquo;2 взаимно независимы и равновероятны. Шум По предполагается независимой гауссовой случайной переменной с нулевым средним,

дисперсией Oq и плотностью вероятности, описываемой следующей формулой:

Р(па) =

Г 2 gt;

U2 gt;

(Б.10)

Следовательно, отношение правдоподобий, выраженное в формуле (Б.8), можно записать следующим образом:

A(z) =

P(.z\si)

Р(42)

а )

V.

( j)

2zai 2о;

= ехр

.2 л

2clj

2za-

Pis,) P(s,)

(Б.11)

Здесь a, - сигнальный компонент на выходе приемника при переданном siit), а aj - сигнальный компонент на выходе приемника при переданном 2(0- Неравенство (Б.11) сохраняется при любом монотонно возрастающем (или убывающем) преобразовании.


аг о at

Рис. Б.4. Плотности условных вероятностей для типичного двоичного приемника



Следовательно, для упрощения выражения (Б.П) от его обеих частей можно взять натуральный логарифм, что даст логарифмическое отнощение функций правдоподобия.

Если классы равновероятны, то

так что

in = 0.

2 2

2(а,-а,) а, + а.

(Б.13)

Для антиподных сигналов = -*2(0 и а, =- laquo;2, так что можем записать следующее:

zO. (Б.14)

Следовательно, правило максимального правдоподобия длм равновероятных антиподных сигналов заключается в сравнении принятой выборки с нулевым порогом, что равносильно выбору Slit), если выборка положительна, и выбору 2(0 - если она отрицательна.

Б.3.2. Вероятность битовой ошибки

Для двоичного примера, приведенного в разделе Б.3.1, рассчитаем вероятность битовой ощибки Рв с помощью правила принятия рещений из формулы (Б.13). Вероятность ошибки вычисляется путем суммирования вероятностей различных возможностей появления ошибки.

Рв = P(H2\sOP(sd + P(H:\S2)P{S2) (Б.15)

Другими словами, при переданном сигнале Ji(0 ошибка произойдет, если будет выбрана гипотеза Яг; или ошибка произойдет, если при переданном сигнале Уг(0 будет выбрана гипотеза Hi. Для частного случая симметричных функций плотности вероятности и для Pisi) = P{s2) = 0,5 можем записать следующее:

РВ = Р(Я25,) = Р(Я,52). (Б.16)

Вероятность ошибки Рд равна вероятности принятия неверной гипотезы Щ при переданном сигнале Уг(0 или принятия неверной гипотезы Яг при переданном сигнале ,(0. Следовательно, Рв численно равна площади под хвостом любой функции плотности вероятности, pii) или р(г*г), заползающим на неверную сторону порога. Таким образом, Рв мы можем вычислить, проинтегрировав p(.z]si) от -= lt; gt; до уо или р{ф2) от уо до о raquo;.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 [ 343 ] 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358