www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 [ 346 ] 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

ПРИЛОЖЕНИЕ Д

s-область, г-область и цифровая фильтрация

Роберт Стюарт (Robert W. Stewart) Отдел электроники и электротехники Университет Стратклайда, Глазго, Шотландия, Великобритания

В формулах (А.26) и (А.27) приложения А были определены прямое и обратное преобразования Фурье. Хотя преобразования Фурье и полезны для стационарного частотного анализа системы, они не всегда подходят для анализа переходных процессов. Для некоторых функций не существует интеграла Фурье, тогда как существует Лаплас-образ, рассматриваемый в данном приложении. Следовательно, для более глубокого анализа линейной системы часто выбирается именно преобразование Лапласа. Используя определения преобразований Фурье и Лапласа, легко показать, что последнее является расщирением первого. Если анализируемая система - это система дискретного, а не непрерывного времени, можно использовать более простое (с точки зрения записи) -преобразование (дискретное преобразование Лапласа), выводимое непосредственно из преобразования Лапласа. Еще одной причиной применения преобразования Лапласа (для анализа систем непрерывного времени) и -преобразования (для анализа систем дискретного времени) является то, что операции, громоздкие во временной области (например, свертка), могут легче выполняться в s- или г-области.

Таким образом, в данном приложении рассматривается преобразование Лапласа, дискретное преобразование Лапласа и дискретное частотное преобразование, после чего описываются распространенные цифровые фильтры и представляется литература по названным преобразованиям.



Д.1. Преобразование Лапласа

Напомним преобразование Фурье, приведенное в формуле (А.26) приложения А.

X(f)= {xOe-dt или Х((й)= {x(t)e~ dt.

(Д-1)

где со = 2л/

Определим новую функцию v(f), равную x(,t), умноженному на е~ deg;, где о- вещественное число, т.е. v(,t)=x(t)er deg;. Фурье-образ функции v{t) будет выглядеть следующим образом:

V(co)= vit)e-dt= x(t)e- e-dt= x{t)e- dt.

(Д.2)

Таким образом, можно переписать формулу (Д.1).

А:(о+гсо)= 40-* Л

(Д-3)

Пусть S - комплексная частота, s = о + /ю, тогда Фурье-образ временного сигнала x(f) можно определить следующим образом:

А:(5) = x{t)e dt,

(Д.4)

где s - переменная Лапласа. Перепищем обратное преобразование Фурье, приведенное в формуле (А.27), через угловую частоту со = 2л/; тогда d(uldf= 2л и

(0 =

А:(со)

: d03 2л

(Д-5)

Поскольку S = о + /со, из этого следует, что ds/da = i, и мы можем определить обратное преобразование Лапласа следующим образом:

x(t) =

X(s)e ds.

(Д.6)

Формулы (Д.4) и (Д.6) представляют пару преобразований Лапласа [x(t) lt;г X(s)], или, более точно, пару двусторонних преобразований Лапласа. Если (разумно) предположить, что до момента f = 0 сигнал не существует (т.е. является причинным), то преобразование можно назвать односторонним, что записывается следующим образом:

X(s)= x{t)e~ dt. о

(Д.7)



Обратное одностороннее преобразование Лапласа аналогично преобразованию, приведенному в формуле (Д.6). Таким образом, формулы (Д.6) и (Д.7) можно называть парой односторонних преобразований Лапласа.

Д.1.1. Стандартное преобразование Лапласа

В табл. Д.1 приведены некоторые стандартные односторонние преобразования Лапласа. Отметим, что (двустороннее) преобразование Лапласа, приведенное в формуле СЦ.4), идентично преобразованию Фурье, приведенному в формуле (А.26), при s = ia, где (0=2л/. Для получения Лаплас-образа x(t) умножается на множитель сходимости е , где о - любое вещественное число. Таким образом, при фактическом вычислении значений интегралов преобразование Лапласа может существовать для многих функций, для которых отсутствует соответствующее преобразование Фурье. Одним из ключевых преимуществ преобразования Лапласа является возможность преобразования функций, не являющихся абсолютно интегрируемыми.

Таблица Д. 1. Преобразования Лапласа

Тип сигнала

Временная функция

Лаплас-образ

Импульс 5(f)

Единичная ступенчатая u(t) функция (Хевисайда)

Линейно растущая функция tu(t)

Экспоненциальные функции e deg;u(t)

Синусоида

Косинусоида

Затухающая синусоида

te-uU)

sin(aw)M(f)

COS((0f) laquo;(f)

sin(aw) laquo;(f)

Затухающая косинусоида e cos((Of) laquo;(f)

s-a 1

+ (0)

+ (0)

-af +(0

(s-a)

Д.1.2. Свойства преобразования Лапласа

Можно показать, что если известна пара преобразований Лапласа y{t) Y(s), то для запаздывающей версии сигнала, которая записывается как y(f - fo), справедливо следующее:



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 [ 346 ] 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358