www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 [ 348 ] 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

(Д-20)

Видим, что Re[a] = р; если р gt; О, импульсная характеристика расходится с увеличением t (времени). В то же время, если р lt; О, импульсная характеристика сходится с увеличением t. Член е - это комплексная (осциллирующая) синусоида (см. раздел А.2.1). Используя формулировку, несколько отличающуюся от применяемых ранее, можно сказать, что система устойчива, если все полюса ffi s-области имеют отрицательную действительную часть.

Таким образом, если изобразить полюса на комплексной s-плоскости, все они должны располагаться в ее левой части. На рис. Д.2 показана область устойчивости и приведен пример устойчивой передаточной функции третьего порядка, все полюса которой попадают в левую часть комплексной -плоскости, т.е. имеют отрицательную действительную часть. Отметим, что нули функции могут быть в левой или правой части .у-плоскости, и это не влияет на устойчивость.

Мнимая часть

Область устойчивости полюсов

X Полюсы о Нули

s-плоскость

(5) s3-0,55 + 0,125 - 0,008

53 + 252+1,55 + 0.5

(S - 0,1 )(52-0,4s+ 0,08)

(S+ 1)(52 + 5 + 0,5)

--0,5

-Действительная (5 - 0,1 )(5 - 0,2 + 0,2;)(5 - 0,2 - 0,2/) асть (5 + 1 )(5 + 0,5 - 0,5/)(5 + 0,5 + 0,5/)

Нули в точках 5 = 0,1, 0,2-0,2/, 0,2 + 0,2/ Полюсы в точках 5 = -1, -0,5-0,5/, -0,5 + 0,5/

Рис. Д.2. Нули и полюса передаточной функции, изображенные в s-области

Если цепь имеет более одного полюса, передаточную функцию можно рассматривать как последовательность однополюсных функций

{s-bQ){s-bi){,s-b2)

s-bn

s-b-,

(Д.21)

Для устойчивости все полюсы должны находиться в левой части комплексной плоскости. Отметим, что для реальных схем с вещественными коэффициентами Лапласа (т.е. в уравнении (Д. 16) A,B,C,Dn Е - вещественные) полюсы и нули будут вещественными или будут разбиты на пары комплексно-сопряженных величин, как показано на рис. Д.2.

Для нащего предьщущего примера ЛС-цепи передаточная функция в формуле (Д. 14) является безусловно устойчивой, поскольку 2%RC - это всегда положительная величина, что, разумеется, является ожидаемым результатом. Неустойчивость в линейных системах возникает только при наличии в них обратной связи (рекурсии), например, при использовании фильтров с инвертирующими или неинвертирующими усилителями.

Д.2. z-преобразование

По сути, г-преобразование - это дискретный эквивалент преобразования Лапласа. Оно делает возможным удобный математический анализ (стационарный анализ и анализ переходных процессов) и манипулирование сигналами и спектрами. Возмож-



но, наиболее распространенным современным применением г-преобразования является описание дискретных систем и анализ их устойчивости.

г-преобразование позволяет вычислять свертку входного сигнала и характеристики дискретной линейной системы в математически удобном виде. Кроме того, могут определяться нули и полюса системы, что позволяет извлекать информацию о динамическом поведении и устойчивости дискретной системы. Следует отметить, что нули и полюса г-преобразования отличаются от нулей и полюсов преобразования Лапласа.

Д.2.1. Вычисление z-преобразования

г-преобразование можно вывести непосредственно из преобразования Лапласа, определенного в формуле (ДА), рассмотрев для этого сигнал x(t), выборка которого производится каждые Г секунд. Таким образом, сигнал будет представлен как функция дискретного времени: х(0), х(Т), х(2,Т),... = {х{кТ)}. Дискретные данные представляют множестю взвешенных и смещенных дельта-функций, применение к которым преобразования Лапласа дает следующий результат (использовано свойство сдвига во времени):

X(s)=Y,x(kT)e

-skT

(Д.22)

* = 0

Введем параметр z = е и заменим дискретное время кТ номером выборки к. В результате получаем следующее:

a:(z) = x()z-*

(Д.23)

к = 0

Приведем в качестве примера результат применения г-преобразования к единичной ступенчатой функции (Хевисайда).

f/(z) = M(/t)z * =l + z~ +z +z 4... = --

(Д.24)

Выше при суммировании геометрической прогрессии было использовано предположение z lt; 1 (область сходимости). В табл. Д.З и Д.4 приведены, соответственно, примеры применения г-преобразования к некоторым распространенным функциям и представлены полезные свойства данного преобразования.

Таблица Д.З. z-преобразование некоторых функций

Тип сигнала

Временная функция

z-преобразование

Импульс

Задержанный импульс

Ык-т)

Единичная ступенчатая функция (Хевисайда)

и(к)

Линейная функция

ки(к)

(z-1)



Окончание табл. Д.З

Тип сигнала

Временная функция

z-преобразование

Экспоненциальная функция еи(к)

Синусоида Косинусоида

cos(ak)u(k)

г sin со

Z -2zcosco-i-l

Z[Z - COS ю]

-2zcosco-i-l

Таблица Д.4. Свойства z-преобразования

Свойство

Временная функция

Лаплас-образ

Произвольная функция

xit)

Xiz)

Произвольная функция

yit)

Y(z)

Линейность

ax(t) + by(t)

aXiz) + bY{z)

Сдвиг во времени

x(k-m)

z- X{z)

Модуляция

e- *x(k)

Xiez)

Экспоненциальное масштабирование

axik)

XizJa)

Линейное масштабирование

кх(к)

-zXiz) dz

Свертка

х(к) * Кк)

X(z)H(z)

Д.2.2. Обратное z-преобразование

Переход из г-области во временную область выполняется посредством обратного z-преобразования [2].

4) = г- {X (г)} = к (г)г-г (Д.25)

Здесь интегрирование в комплексной области j проводится по любому простому

контуру в области сходимости X(z), включающему точку г = 0. Как правило, вычисление обратного г-преобразования сложнее вычисления прямого. Обычно приходится раскладывать подынтегральное выражение на сумму рациональных дробей, делить полиномы, использовать теорему о вычетах и составлять разностные уравнения. Поэтому большая часть г-преобразований и обратных г-преобразований вычисляется с использованием таблиц интегралов и их свойств, так что явного вычисления выражения (Д.25) обычно удается избежать. При современном анализе цифровых сигналов и систем используются программные пакеты, подобные SystemView [1], а г-преобразование большей частью представляет собой просто аналитическую форму записи, удобную для определения устойчивости дискретных сигналов и систем.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 [ 348 ] 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358