www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [ 39 ] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

afjKj i = l,...,M. (3.17)

Уравнение (3.17) - это частный случай теоремы Парсеваля, связывающей интеграл от квадрата сигнала j,(0 с суммой квадратов коэффициентов ортогонального разложения s,{t). При использовании ортонормированных функций (т.е. при Kj = 1) нормированная энергия за промежуток времени Т дается следующим выражением:

, = Х4- (3.18)

Если все сигналы s,it) имеют одинаковую энергию, формулу (3.18) можно записать следующим образом:

Е = для всех L (3.19)

j = i

3.1.3.2. Обобщенное преобразование Фурье

Преобразование, описанное формулами (3.8), (3.10) и (3.11), называется обобщенным преобразованием Фурье. При обычном преобразовании Фурье множество включает

синусоиды и косинусоиды, а в случае обобщенного преобразования оно не ограничено какой-либо конкретной формой; это множество должно лищь удовлетворять условию ортогональности, записанному в форме уравнения (3.8). Обобщенное преобразование Фурье позюляет представить любой произвольный интегрируемый набор сигналов (или щумов) в виде линейной комбинации ортогональных сигналов [3]. Следовательно, в подобном ортогональном пространстве в качестве критерия принятия рещения для детектирования любого набора сигналов при шуме AWGN вполне оправдано использование расстояния (Евклидового расстояния). Вообще, важнейшее применение этого ортогонального преобразования связано с действительной передачей и приемом сигналов. Передача неортогонального набора сигналов в общем случае осуществляется посредством подходящего взвешивания ортогональных компонентов несущих.

Пример 3.1. Ортогональное представление сигналов

На рис. 3.5 иллюстрируется утверждение, что любой произвольный интегрируемый набор сигналов может представляться как линейная комбинация ортогональных сигналов. На рис. 3.5, а показан набор из трех сигналов, Si(t), S2(t) и 5з(0-

а) Покажите, что данные сигналы не взаимно ортогональны.

б) На рис. 3.5, б показаны два сигнала vifi(0 и vif2(0- Докажите, что эти сигналы ортогональны.

в) Покажите, как неортогональные сигналы из п. а можно вьфазить как линейную комбинацию ортогональных сигналов из п. б.

г) На рис. 3.5, в показаны другие два сигнала vifi(/) и Х1 gt;2(0- Покажите, как неортогонапь-ные сигналы, показанные на рис. 3.5, а, выражаются через линейную комбинацию сигналов, изображенных на рис. 3.5, е.



si(f)

: 1

s2(f)

1 -О -

s3(f)

2 -1

для i/у

-2 --3 -

Vi(f)

1 0 -1

- 1/2

V2(t)

V2(f)

Гдля / = /с Одля других;,/с

Рис. 3.5. Пример выражения произвольного набора сигналов через ортогональный набор: а) произвольный набор сигналов; б) набор ортогональных базисных функций; в) другой набор ортогональных базисных функций

Решение

а) Сигаалы S\{t), S2{t) и s\(f), очевидно, не являются взаимно ортогональными, поскольку не удовлетворяют требованиям, указанным в формуле (3.8), т.е. интегрирование по времени (по длительности передачи символа) произведения любых двух из трех сигналов не равно нулю. Покажем это для сигналов S\{t) и 2(0:

г г/2 г

S{t)S2(,t)dt = Si(t)S2(t)dt + Sy{t)S2{t)dt = о о г/2

(-1)(2)Л =

(-3)(0)Л=-Г.

о г/2

Подобным образом интехрирование по интервалу времени Т каждого из скалярных произведений si(t)Si(t) и 52(0*з(0 дает ненулевой результат. Следовательно, множество сигналов {s,(t)} (/=1, 2, 3) на рис. 3.5, а не является ортогональным, б) Используя формулу (3.8), докажем, что vifi(f) и vif2(0 ортогональны:



г/2 Г

Mf{t)M/{t)dt= (1)(1)Л+ (-1)(1)Л = 0.

о о г/2

в) С использованием формулы (3.11) при К, = Т, неортогональное множество сигналов {s,(0} (= 1, 2, 3) можно выразить через линейную комбинацию ортогональных базисных сигналов {vif,(0} (/=1. 2):

si(0 = VKi(0-2vif2(f) laquo;2(0 = ,(0 + 2(0 5з(0 = 2vif,(0 - Vlf2(0

г) Подобно тому, как было сделано в п в, неортогональное множество {s,(0} (= 1. 2, 3) можно выразить через ортогональный набор базисных функций {vif,(0} (/= 1, 2), изображенный на рис. 3.5, в:

si(0 = VKi(0 - 3vif2(0 52(0 = 2vi,i(0

laquo;3(0 = VKi(0-3vif2(0

Эти соотношения показывают, как произвольный набор сигналов {sff)} выражается через линейную комбинацию сигналов ортогонального набора {v;, lt;0}, как описывается формулами (3 10) и (З.И) Какое практическое значение имеет юзможносгь представления сигналов s, lt;0, S2{t) и S3(f) через сигналы \{t), и соответствующие коэффициенты? Если мы хотим, чтобы система передавала сигаалы s,{t), S2(t) и Siit), достаточно, чтобы передатчик и приемник реализовывались только с использованием двух базисных функций vif(f) и vif2(0 вместо трех исходных сигналов Получить ортогональный набор базисных функций для любого

данного набора сигналов {s,{t)} позюляет процесс ортогонализации Грамма-Шмидта. (Подробно этот процесс описан в приложении 4А работы [4].)

3.1.3.3. Представление белого шума через ортогональные сигналы

Аддитивный белый гауссов шум (additive white Gaussian noise - AWGN), как и любой другой сигнал, можно выразить как линейную комбинацию ортогональных сигналов. Для последующего рассмотрения процесса детектирования сигналов шум удобно разложить на два компонента:

n(f) = n{t) + n{t), (3.20)

Й(0 = йД/0 (3.21)

; = 1

является шумом в пространстве сигналов или проекцией компонентов шума на координаты сигнала Mfi{t), \/jv(0. а

n{t)=n{t)-h{t) (3.22)

есть шумом вне пространства сигналов. Другими словами, n(t) можно рассматривать как шум, эффективно отсеиваемый детектором, а n(t) - как шум, который будет вмешиваться в процесс детектирования. Итак, шум л(0 можно выразить следующим образом:



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [ 39 ] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358