www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 [ 43 ] 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

Для момента времени t = Т формулу (3.58) можно переписать следующим образом:

Г(Т)5(Т)Л.

(3.59)

Из последнего выражения видно, что интеграл от произведения принятого сигнала г(г) на копию переданного сигнала 5(f) на интервале передачи символа представляет собой корреляцию lit) с 5(f). Предположим, что принятый сигнал rit) коррелирует со всеми сигналами-прототипами 5, lt;f) ( raquo; = 1,.... М) и для этого используется набор из М корреляторов. Сигнал 5, lt;f), корреляция которого (или интеграл от произведения) с rit) дает максимальное значение z,{T), - и есть сигнал, который согласуется с rit) лучще остальных. Далее это сюйство корреляции мы будем использовать для оптимального детектирования сигналов.

3.2.3.1. Сравнение свертки и корреляции

Работа согласованного фильтра описывается математической операцией свертки; сигнал сюрачивается с импульсной харакгеристикой фильтра. Работа коррелятора описывается математической операцией корреляции; сигнал коррелирует с копией самого себя. Довольно часто термин согласованный фильтр используется кк синоним термина коррелятор . Как такое юзможно, если математические операции различны? Напомним, что процесс свертки двух сигналов использует один из сигналов, обращенный во времени. Кроме того, импульсная характеристика согласованного фильтра определяется именно через сигнал, обращенный во времени. Следовательно, свертка в согласованном фильтре с обращенной во времени функцией дает еще одно обращение во времени, подавая на выход (в конце интервала передачи символа) то, что является корреляцией сигнала с собственной копией. Значит, принимающий фильтр, изображенный на рис. 3.1, можно реализовать либо как согласованный фильтр, либо как коррелятор. Важно отметить, что выходы коррелятора и согласованного фильтра одинаковы только в момент времени t=T. Для синусоидального входа выход коррелятора, z(f), на интервале О lt; f lt; Г приблизительно описывается линейной функцией. В то же время выход согласованного фильтра приблизительно описывается синусоидой, амплитуда которой в том же промежутке времени модулирована линейной функцией (см. рис. 3.7, б). Поскольку при соизмеримых входах выходы согласованного фильтра и коррелятора идентичны в момент взятия выборки t=T, функции согласованного фильтра и коррелятора, изображенные на рис. 3.8, часто используются как взаимозаменяемые.

r{t) = s,{t)+n{t)-

h{T-t)

Согласовывается с

S,(t)-S2(f)


r{t) = si(t) + n{t)

Рис. 3.8. Эквивалентность согласованного фильтра и коррелятора: а) согласованный фильтр; б) коррелятор



3.2.3.2. Дилемма в представлении упорядоченных во времени событий

При представлении упорядоченных во времени событий существует серьезная дилемма. Возникает частая ошибка в области электротехники - путаница между самым старшим битом и самым младшим. На рис. 3.9, а показано, как обычно изображается функция времени; самое раннее событие представлено слева, а наиболее позднее - справа. Людям, привыкшим читать слева направо, такое изображение кажется единственно правильным. Рассмотрим рис. 3.9, б, где показано, как импульсы поступают в сеть (или канал) и покидают ее. Здесь самое раннее событие изображено справа, а наиболее позднее - слева. Изучение этого рисунка позволяет понять, что при записи упорядоченных событий возможна путаница между двумя возможными форматами записи. Чтобы избежать затруднений, зачастую необходимо дать некоторые пояснения (например, указать, что крайний справа бит - это первый бит).

to t, ti а)

Вход

Выход

t2 ti

Сеть

tz ti to

Рис. 3.9. Дилемма в представлении упорядоченных во времени событий

Математические соотношения часто имеют встроенные особенности, гарантирующие соответствующее упорядочение событий. Например, в разделе 3.2.3 согласованный фильтр определялся как имеющий импульсную характеристику й(0 - запаздывающую версию обращенной во времени копии сигнала. Иными словами, й(г) = 5(7 - О- Запаздывание на один интервал передачи символа Т необходимо для того, чтобы фильтр бьш причинным (выход должен быть функцией положительного времени). Обращение во времени можно рассматривать как предварительную коррекцию , где крайняя правая часть временного графика теперь соответствует наиболее раннему собьтгию. Поскольку свертка навязывает другое обращение во времени, поступающий сигнал и импульсный отклик фильтра будут идти в ногу (ранний с ранним, поздний с поздним).

3.2.4. Оптимизация вероятности ошибки

Для отттимизации (минимизации) Рв в среде канала и приемника с шумом AWGN, показанных на рис. 3.1, нужно выбрать оптимальный принимающий фильтр на этапе 1 и оптимальный порог принятия решения на этапе 2. Для двоичного случая огттимальный порог принятия решения уже выбран и дается формулой (3.32), а в формуле (3.42) показано, что вероятность ошибки при таком пороге равна Рв - Q[(ai - а2)12а. Для минимального Рв в общем случае необходимо выбрать фильтр (согласованный) с максимальным аргументом функции Q(x). Следовательно, нужно определить максимальное (ах-а2)120о, что равносильно максимальному



L. (3.60)

где (а, - aj) - разность желательных компонентов сигнала на выходе линейного фильтра в момент г = Г, а квадрат этого разностного сигнала представляет его мгновенную мощность. В разделе 3.2.2 описывался согласованный фильтр с максимальным отнощением сигнал/шум для данного известного сигнала. Здесь мы решаем вопрос двоичной передачи сигналов и ищем оптимальный фильтр с максимальной разностью двух возможных выходных сигналов. В выводе, приведенном в уравнениях (3.45)-(3.52), было показано, что согласованный фильтр дает на выходе максимально возможное отнощение сигнал/щум, равное IEINq. Допустим, что фильтр согласовывает входной разностный сигнал [siit)- 52(f)]- Следовательно, для момента f = r можем записать отнощение сигнал/щум на выходе:

og Nq

.2 - (3-61)

где N(J2 - двусторонняя спектральная плотность мощности щума на входе фильтра и

Ea=\{s{t)-S2{t)fdt (3.62)

является энергией разностного сигнала на входе фильтра. Отметим, что уравнение (3.61) не представляет отнощения сигнал/щум для какой-то отдельной передачи, 5i(f) или 52(f). Это отнощение дает метрику разности сигналов на выходе фильтра. Максимизируя выходное отнощение сигнал/щум, как показано в уравнении (3.61), согласованный фильтр обеспечивает максимальное расстояние (нормированное на щум) между двумя возможными выходами - сигналами aj и

Далее, объединяя уравнения (3.42) и (3.61), получаем следующее:

о gt;

(3.63)

Для согласованного фильтра уравнение (3.63) является важным промежуточным результатом, включающим энергию разностного сигнала на входе фильтра. Из этого уравнения можно вывести более общее соотнощение для энергии принятого бита. Для начала определим временной коэффициент взаимной корреляции р, который будем использовать в качестве меры подобия двух сигналов 5i(f) и 52(f). Имеем

p = L{t)s2U)dt (3.64,а)

p=cos0, (3.64,6)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 [ 43 ] 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358