www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 [ 44 ] 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

где -1 lt; р lt; 1. Формула (3.64,а) - это классический математический способ выражения корреляции. Впрочем, если рассматривать si{t) и 52(f) как векторы сигналов si и S2, то более удобным представлением р является формула (3.64,6). Векторное представление позволяет получать удобные графические изображения. Векторы si и S2 разделены углом Э; при малом угле векторы достаточно подобны (сильно коррелируют), а при больших углах они отличаются. Косинус угла Э дает ту же нормированную метрику корреляции, что и формула (3.64,а).

Расписывая выражение (3.62), получаем следующее:

52(f) dt +

sl{t)dt-2 Si{t)s2it) dt. (3.65)

Напомним, что два первых слагаемых формулы (3.65) представляют энергию, связанную с битом, Еь.

Ei,= jsf{t)dt= jslU)dt. (3.66)

Подставляя уравнения (3.64,а) и (3.66) в формулу (3.65), получаем следующее:

Еа = Еь + Еь-2рЕь = 2Еьа-р)- (3-67)

Подставляя уравнение (3.67) в (3.63), получаем следующее:

Pb = Q

(3.68)

Рассмотрим случай р = 1, соответствующий наилучшей корреляции сигналов 5i(f) и 52(f) в течение времени передачи символа (если сигналы изобразить как векторы, угол между ними будет равен нулю). Возможно ли, чтобы подобные сигналы использовались кем-то в реальной системе? Разумеется, нет, поскольку сигналы связи (элементы алфавита) должны бьшь максимально несопоставимы, чтобы их можно было легко различать (детектировать). В данный момент мы просто рассматриваем возможные значения р. Следующий частный случай р = -1 соответствует антикорреляции 5,(0 и 52(0 6 течение времени передачи символа. Другими словами, угол между векторами сигналов составляет 180 deg;. В этом случае, когда векторы являются зеркальными отображениями друг друга, как показано на рис. 3.10, а, сигналы называются антиподн( gt;1-ми (противофазными). Рассмотрим также случай р = О, соответствующий нулевой корреляции между 5i(f) и 52(f) (угол между векторами равен 90 deg;). Такие сигналы, показанные на рис. 3.10, б, именуются ортогональными (квадратурными). Чтобы два сигнала были ортогональными, они не должны коррелировать в течение времени передачи символа, т.е. должно выполняться следующее условие:

5i(f)52(f)rff = 0. (3.69)



-0-a)

-Vi(f)


Puc. 3.10. Векторы двоичных сигналов: a) антиподные; б) ортогональные

Вопрос ортогональности рассматривался ранее, в разделе 3.1.3. При детектировании антиподных сигналов (т.е. при р = -1) с помощью согласованного фильтра, уравнение (3.68) можно записать следующим образом:

Pb=Q

(3.70)

Точно так же при детектировании ортогональных сигналов (т.е. при р = 0) с помощью согласованного фильтра, формулу (3.68) можно записать следующим образом:

Pb = Q

(3.71)

На рис. 3.10, где амплитуды сигналов выбраны равными е , показано, что вероятность ощибки, описываемая уравнениями (3.70) и (3.71), является функцией расстояния между Si и S2 (чем больше расстояние, тем меньше Рв). Если взять антиподные сигналы

(рис. 3.10, а), расстояние между ними будет равно 2,[е , а энергия е, связанная с расстоянием, будет определяться как квадрат расстояния, или 4Ei,. При подстановке Ej = 4Еь в уравнение (3.63) получаем уравнение (3.70). Если взять ортогональные сигналы

(рис. 3.10, б), расстояние между ними будет равно -JzE; следовательно, Ej=2Et. При подстановке Ej = 2Ei, в уравнение (3.63) получим уравнение (3.71).

Пример 3.2. Детектирование антиподных сигналов с помощью согласованного фильтра

Рассмотрим бинарную систему связи, принимающую равновероятные сигналы S\(t) и 2(0 плюс шум AWGN (рис. 3.11). Предположим, что в качестве принимающего фильтра используется согласованный фильтр, а спектральная плотность мощности шума No равна Iff Вт/Гц. С помощью значения напряжения и времени принятого сигнала, показанных на рис. З.И, вычислите вероятность появления ошибочного бита.



s,(t) (милливольт)

sz(f) (милливольт)

0 12 3

- t (МКС)

0 12 3

t(MKC)

Рис. 3.11. Низкочастотные антиподные сигналы

Решение

Мы можем графически определить отношение принятой энергии на бит сигнала, используя для этого один из двух графиков, либо 5i(r), либо 52(f). представленных на рис. 3.11. Энергия - это площадь под графиком импульса, которая находится путем интегрирования:

Еь = jv(t) dt = (lO-B)X (10-*с) + (2 X lO-B) х (10 *с) +(10-В) х (10 *с) = 6 х Ю Дж. о

Поскольку сигналы, изображенные на рис. 3.11, являются антиподными и детектируются с помощью согласованного фильтра, используем формулу (3.70) для вычисления вероятности появления ошибочного бита:

12x10

=q{Ji2)=QOA6) .

Из табл. Б.1 находим, что Рд = 3х 10 . Кроме того, поскольку аргумент q,(x) больше 3, можно также использовать приближенное соотношение, приведенное в формуле (3.44), которое дает вероятность Рд = 2,9 х 10 .

Поскольку принятые сигналы являются антиподными и принимаются согласованным фильтром, весьма вероятно, что формула (3.70) дает верное выражение для нахождения вероятности возникновения ошибочного бита. Сигналы S\{t) и 52(f) могут выглядеть гораздо более странно, но до тех пор, пока они являются антиподными и детектируются с помощью согласованного фильтра, их внешний вид не влияет на вычисление Рд. Формы сигналов, разумеется, имеют значение, но только когда дело доходит до определения импульсного отклика согласованного фильтра, необходимого для детектирования этих сигналов.

3.2.5. Вероятность возникновения ошибки при двоичной передаче сигналов

3.2.5.1. Униполярная передача сигналов

На рис. 3.12, а приведен пример низкочастотной ортогональной передачи сигналов, называемой униполярной.

Sx{i) = А 0 lt;t lt;T для двоичной 1 52(f) = 0 О lt; f lt; Г для двоичного О

(3.72)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 [ 44 ] 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358