www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 [ 7 ] 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

1.2.5. Единичная импульсная функция

Полезной функцией в теории связи является единичный импульс, или дельта-функция Дирака 5(0- Импульсная функция - это абстракция, импульс с бесконечно большой амплитудой, нулевой шириной и единичным весом (площадью под импульсом), сконцентрированный в точке, в которой значение его аргумента равно нулю. Единичный импульс задается следующими соотношениями:

J8(t)dt = l, (1.9)

5(0 = О для О, (1.10)

5(0 не ограничена в точке г = О, (1-11)

xit)8it-to)dtx(to). (1.12)

Единичный импульс 5(0 - это не функция в привычном смысле этого слова. Если 5(0 входит в какую-либо операцию, его удобно считать импульсом конечной амплитуды, единичной площади и ненулевой длительности, после чего нужно рассмотреть предел при стремлении длительности импульса к нулю. Графически 5(f-fo) можно изобразить как пик, расположенный в точке t=to, высота которого равна интефалу от него или его площади. Таким образом, A8(t-to) с постоянной А представляет импульсную функцию, площадь которой (или вес) равна А, а значение везде нулевое, за исключением точки t-to.

Уравнение (1.12) известно как фильтрующее свойство единичной импульсной функции; интеграл от произведения единичного импульса и произвольной функции дает выборку функции x(t) в точке t = Iq.

1.3. Спектральная плотность

Спектральная плотность (spectral density) сигнала характеризует распределение энергии или мощности сигнала по диапазону частот. Особую важность это понятие приобретает при рассмотрении фильтрации в системах связи. Мы должны иметь возможность оценить сигнал и шум на выходе фильтра. При проведении подобной оценки используется спектральная плотность энергии (energy spectral density - ESD) или спектральная плотность мощности (power spectral density - PSD).

1.3.1. Спектральная плотность энергии

Общая энергия действительного энергетического сигнала x(.t), определенного в интерн вале (-~, ~), описывается уравнением (1.7). Используя теорему Парсеваля [1], мы можем связать энергию такого сигнала, выраженную во временной области, с энергией, выраженной в частотной области:

deg; deg;г deg;г (1-13)

xHt)dt= \X(ffdf,

. 1 ri gt;iruanL.i м oniairrnKI



где X(f) - Фурье-образ непериодического сигнала xU)- (Краткие сведения об анализе Фурье можно найти в приложении А.) Обозначим через прямоугольный амплитудный спектр, определенный как

V.(/) = W- (1.14)

Величина raquo;(а(/) является спектральной плотностью энергии (ESD) сигнала х(1). Следовательно, из уравнения (1.13) можно выразить общую энергию х(0 путем интегрирования спектральной плотности по частоте:

Данное уравнение показывает, что энергия сигнала равна площади под ц gt;ф на фафике в частотной области. Спектральная плотность энергии описывает энергию сигнала на единицу щирины полосы и измеряется в Дж/Гц. Положительные и отрицательные частотные компоненты дают равные энергетические вклады, поэтому, для реального сигнала x(t), величина \X(f)\ представляет собой четную функцию частоты. Следовательно, спектральная плотность энергии симметрична по частоте относительно начала координат, а общую энергию сигнала x(t) можно выразить следующим образом:

1.3.2. Спектральная плотность мощности

Средняя мощность действительного мощностного сигнала x(t) определяется уравнением (1.8). Если x(t) - это периодический сигнал с периодом Tq, он классифицируется как мощностной сигнал. Выражение для средней мощности периодического сигнала дается формулой (1.6), где среднее по времени берется за один период То.

Го/2

Р= plusmn;

x4t)dt. (1.17,а)

Теорема Парсеваля для действительного периодического сигнала [1] имеет вид

р.=У deg;1 m=t\c \\ (1.17,6)

о -Toll

где 1с являются комплексными коэффициентами ряда Фурье для периодического сигнала (см. приложение А).

Чтобы использовать уравнение (1.17,6), необходимо знать только значение коэффициентов (с (. Спектральная плотность мощности (PSD) GJJ) периодического сигнала x{t) является действительной, четной и неотрицательной функцией частоты и дает распределение мощности сигнала x(t) по диапазону частот:



G.(/)= 2l fS(/-n/o). (1.18)

Уравнение (1.18) определяет спектраньную плотность мощности периодического сигнала x(t) как последовательность взвещенных дельта-функций. Следовательно, PSD периодического сигнала является дискретной функцией частоты. Используя PSD, определенную в уравнении (1.18), можно записать среднюю нормированную мощность действительного сигнала:

GAf)df=2 GAf)df . (1.19)

Уравнение (1.18) описывает PSD только периодических сигналов. Если x(t) - непериодический сигнал, он не может быть выражен через ряд Фурье; если он является непериодическим мощностным сигналом (имеющим бесконечную энергию), он может не иметь Фурье-образа. Впрочем, мы по-прежнему можем выразить спектральную плотность мощности таких сигнанов в пределе. Если сформировать усеченную версию хт(г) непериодического мощностного сигнала 40. взяв для этого только его значения из интервала (-Т/2, 772), то л:7 lt;0 будет иметь конечную энергию и соответствующий Фурье-образ Хтф. Можно показать [2], что спектральная плотность мощности непериодического сигнала x(t) определяется как предел

G,(/)= Ит:Хг(/)р. (1-20)

г- raquo;~ Т

Пример 1.1. Средняя нормированная мощность

а) Найдите среднюю нормированную мощность сигнала х(0 = А cos nfy, используя усреднение по времени.

б) Выполните п. а путем суммирования спектральных коэффициентов. Решение

а) Используя уравнение (1.17,а), получим следующее:

{AcoslTrfat)dt =

J (1 + cos 4Ttf) dt = (.To)=-

A , A

27b 2

6) Используя уравнения (1.18) и (1.19), получаем следующее:



1 2 3 4 5 6 [ 7 ] 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358