Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 [ 70 ] 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

принятого полосового сигнала на е

с целью восстановления низкочастотного

сигнала. В левой части рис. 4.24 в упрощенном виде показан модулятор, изображенный на рис. 4.23, и сигнал s(f)= sin (av-л/4), переданный в момент времени к = 1 (продолжаем использовать пример, описанный в предыдущем разделе). В правой части рис. 4.24 показана квадратурная реализация демодулятора.

cos й)о

Модулятор

Демодулятор

cos aot

s(t) = - 0,707 cos toof + 0,707 sin mo = sin (с raquo;о-я/4)

-sin юо -sin (Oof

Рис. 4.24. Пример модулятора/демодулятора

Отметим тонкое отличие между членом -sin щ в модуляторе и демодуляторе. В модуляторе знак минус появляется при определении действительной части комплексного сигнала (произведения комплексной огибающей и комплексной несущей). В демодуляторе член -sin ov появляется при умножении полосоюго сигнала на сопряженное е~ lt; несущей модулятора. Демодуляция является когерентной, если фаза восстанавливается. Для упрощения записи основных соотнощений процесса мы пренебрегаем шумом. Итак, после синфазного умножения в демодуляторе на cos av в точке А получаем следующий сигнал:

А = (-0,707 cos ciV + 0,707 sin ov) cos ciV = (4.67)

= -0,707 cosciV + 0,707 sin OV cos ciV.

Используя тригонометрические соотношения, приведенные в формулах (Г.7) и (Г.9), получаем следующее:

А = (1 -( cos 2шо) + sin 2Щ1. (4.68)

После фильтрации с использованием фильтра нижних частот (low-pass filter - LPF) в точке Авосстанавливается идеальный отрицательный импульс

А = -0,707 (с точностью до масштабного коэффициента). (4.69)

Подобным образом после квадратурного умножения в демодуляторе на -sin в точке В получаем сигнал

В - (-0,707 cos ov + 0,707 sin ov) (-sin ov) =

0,707 . 0,707 -sm 2щ--(1 - cos 2щ).

(4.70)

2 2

После прохождения сигналом фильтра нижних частот в точке 5восстанавливается идеальный отрицательный импульс

В = -0,707 (с точностью до масштабного коэффициента). (4.71)

Таким образом, видим, что в точках Аи В (идеальные) дифференциальные информационные импульсы для синфазного и квадратурного каналов равны -0,707. По-

4.6. Комплексная огибающая

скольку модулятор/демодулятор является дифференциальным, для нашего примера к = 2 получаем следующее:

ДФ = 2 = Ф* = 2-Ф*=.. (4.72)

Будем считать, что в предыдущий момент времени fc = 1 демодулятор правильно определил, что фаза сигнала равна л. Тогда из формулы (4.72) можем получить следующее:

Дф = 2 = 5я/4 - 71 = л/4. (4.73)

Вернувшись к таблице модуляции на рис. 4.23, видим, что данной фазе соответствует информационная последовательность Х2У212 = О01, что совпадает с данными, посланными в момент времени к = 2.

4.7. Вероятность ошибки в бинарных системах

4.7.1. Вероятность появления ошибочного бита при когерентном / детектировании сигнала BPSK

Важной мерой производительности, используемой для сравнения цифровых схем модуляции, является вероятность ошибки, Р. Для коррелятора или согласованного фильтра вычисление Ре можно представить геометрически (см. рис. 4.6). Расчет Ре включает нахождение вероятности того, что при данном векторе переданного сигнала, скажем s вектор шума п выведет сигнал из области 1. Вероятность принятия детектором неверного решения называется вероятностью символьной ошибки, Ре (когда М gt;2). Несмотря на то что решения принимаются на символьном уровне, производительность системы часто удобнее задавать через вероятность битовой ошибки (Рд). Связь Рд и Ре рассмотрена в разделе 4.9.3 для ортогональной передачи сигналов и в разделе 4.9.4 для многофазной передачи сигналов.

Для удобства изложения в данном разделе мы ограничимся когерентным детектированием сигналов BPSK. В этом случае вероятность символьной ошибки - это то же самое, что и вероятность битовой ошибки. Предположим, что сигналы равновероятны. Допустим также, что при передаче сигнала s,(t) (i = 1, 2) принятый сигнал r(t) равен s,(t) + n(t), где n(t) - процесс AWGN; кроме того, мы пренебрегаем ухудшением качества вследствие внесенной каналом или схемой межсимвольной интерференции. Как показывалось в разделе 4.4.1, антиподные сигналы Ji(f) и 2(0 можно описать в одномерном сигнальном пространстве, где

5i(0 = V \/i(0 52(0 = -V vK,(0]

0 lt;fr. (4.74)

Детектор выбирает s,(t) с наибольшим выходом коррелятора z,(T); или, в нашем случае антиподных сигналов с равными энергиями, детектор, используя формулу (4.20), принимает решение следующего вида:

.,(0, еслиг(Г) gt;Уо=0

S2(t) При других г(Г)

Как видно из рис. 4.9, возможны ошибки двух типов: шум так искажает переданный сигнал si(t), что измерения в детекторе дают отрицательную величину z(7), и де-

тектор выбирает гипотезу Яг,* что был послан сигнал s2(t). Возможна также обратная ситуация: шум искажает переданный сигнал s2(t), измерения в детекторе дают положительную величину z(T), и детектор выбирает гипотезу Н, соответствующую предположению о передаче сигнала s,.

В разделе 3.2.1,1 была выведена формула (3.42), описывающая вероятность битовой ошибки Рв для детектора, работающего по принципу минимальной вероятности ошибки:

(я,-я,)/2ао

du = Q

(4.76)

Здесь Оо - среднеквадратическое отклонение шума вне коррелятора. Функция б(). называемая гауссовым интегралом ошибок, определяется следующим образом:

Q(X) =

(4.77)

Эта функция подробно описывается в разделах 3.2 и Б.3.2.

Для передачи антиподных сигналов с равными энергиями, таких как сигналы в формате BPSK, приведенные в выражении (4.74), на выход приемника поступают следующие компоненты: laquo;1 = .Je , при переданном сигнале s,(t), и 2 реданном сигнале 2(0, где Еь - энергия сигнала, приходящаяся на двоичный символ. Для процесса AWGN дисперсию шума ао вне коррелятора можно заменить N(J2 (см. приложение В), так что формулу (4.76) можно переписать следующим образом:

,.2Л

du =

(4.78)

(4.79)

Данный результат для полосовой передачи антиподных сигналов BPSK совпадает с полученными ранее формулами для детектирования антиподных сигналов с использованием согласованного фильтра (формула (3.70)) и детектирования низкочастотных антиподных сигналов с применением согласованного фильтра (формула (3.76)). Это является примером описанной ранее теоремы эквивалентности. Для линейных систем теорема эквивалентности утверждает, что на математическое описание процесса детектирования не влияет сдвиг частоты. Как следствие, использование согласованных фильтров или корреляторов для детектирования полосовых сигналов (рассмотренное в данной главе) дает те же соотношения, что бьши выведены ранее для сопоставимых низкочастотных сигналов.

Пример 4.4. Вероятность битовой ошибки при передаче сигналов BPSK

Найдите вероятность появления ошибочного бита в системе, использующей схему BPSK и скорость 1 Мбит/с. Принятые сигналы Si(f) = Л cos (Оо/ и 2(0 = -А cos Ш детектируются