www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 [ 100 ] 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

Глава 6. Задачи нелинейной теории

Функции Qij д2 и Qs неотрицательны и gi монотонно убывает, а д2,дз монотонно возрастают с ростом Vm при О lt; 2: lt; 1. Следовательно, подынтегральная функция в (6.5.5) с ростом Vm монотонно убывает. Поэтому производная da/dvm имеет в интервале О lt; lt; 1 не более одного нуля. По так как da/dvm оо при i; О и da/dvm -оо при Vm 1, то существует значение при котором da/dvm = 0. Таким образом, функция a{vm) при фиксированном значении 7 имеет единственный максимум (рис. 6.12, 6.13).

2,0/

7=0

1,0 OL


Рис. 6.12

Рис. 6.13

Соответственно, при а lt; а/(7) струна имеет две формы равновесия при одних и тех же значениях параметров, при а = щ - одну форму и при а gt; щ равновесие невозможно.

Пусть 7 lt; О (нагрузка направлена от магнита). Тогда уравнение (6.5.1) в полуплоскости V, W, V lt; 1 имеет особую точку v = 1 - ( )-1/2 = 0. Первый интеграл этого уравнения

w = 2j{Vml - v){Vm2 v){l v)~, (6.5.6)

(l-ml)(l-m2) = -l/7 (6.5.7)

определяет замкнутые фазовые траектории, пересекающие ось v при V = Vmi и V = Vm2 Отсюда слсдуст, ЧТО особая точка - центр, расположенный при 7 lt; - 1 в интервале О lt; lt; 1, а при 7 gt; - 1 - в интервале - оо lt; lt; О (рис. 6.11, , в).

Регаению краевой задачи (6.5.1) в данном случае могут отвечать, помимо прочего, две группы отрезков фазовых траекторий, начинающихся и кончающихся на оси w: отрезки вида АВ и отрезки вида В А (рис. 6.11,, в). Отрезки АВ определяют одноэкстемальные формы равновесия с положительными перемещениями (как и в случае на-



sect;6.5. Равновесие струны 307

грузки, направленной к магниту), отрезки В А - с отрицательными неремещениями. Эти формы симметричны и максимальное по модулю перемещение, равное Vmi gt; О для laquo;положительных raquo; и Vm2 lt; О для отрицательных форм, достигается в середине струны. Кроме того, возможны формы равновесия, отвечающие переходам ABA и ВАВ, переходу АВАВ и т. д. Среди всех этих отрезков нужно выбрать те, которые изображающая точка пробегает за laquo;время raquo; г = а.

Различие в расположении центра в случаях 7 lt; -1и7 gt; -1 существенно влияет на характер решений, вследствие чего эти случаи необходимо рассматривать раздельно.

Пусть 7 lt; - 1. Рассмотрим сначала laquo;положительные raquo; одноэкстре-мальные формы. Для них сохраняются соотношения (6.5.3), (6.5.4), но пределы возможного изменения Vm в данном случае будут Vp lt; Vm lt; lt; 1, где Vp = 1 + 1/7. Последнее условие выражает два требования: во-первых, чтобы подынтегральная функция в (6.5.3), (6.5.4) оставалась вещественной при всех О lt; z lt; 1; во-вторых, чтобы рассматриваемая фазовая траектория охватывала траекторию, проходящую через начало координат фазовой плоскости, так как только такие траектории пересекают ось w и laquo;удовлетворяют raquo; граничным условиям.

Покажем, что при увеличении Vm от Vm = Vp до Vm = функция a{vm) монотонно убывает до нуля. Положим Vm = Vp-\-s и перейдем в (6.5.4) к новой переменной t = (1 + e/vp)~z. Получим

a[Vm

= л/2 [{vp-t)h{t,e) + h{t,e)h{t,e))]-l4t, fl =t{l -Vp- e)-[l - (1 + e/vp)t]-\

(6.5.

/2 = (1 - Vp)-\1 -Vp- s)-\ /3 = s{l + S/Vpj . функции /i, /2, /3 неотрицательны и монотонно возрастают с ростом г. Следовательно, подынтегральная функция в (6.5.8) есть монотонно убывающая функция г. Поэтому а{г) монотонно убывает. Пз (6.5.5) имеем da/dvm -00 нри Vm или Vm Vp (рис. 6.13). Таким образом, положительные одноэкстремальные формы существуют в области О lt; а lt; laquo;(7), где Vm{oLp) = Vp] при данном а такая форма единственна (рис. 6.13).

Рассмотрим отрицательные одноэкстремальные формы. Для них зависимость а(1;ш2 имеет вид

/ Г \Vm2\(l\Vrn2\)(lVrn2z) 1 V2

72 ] 4l-)[-l-7(l + K2)(l + K2k)]J

Производная подынтегрального выражения в (6.5.9) по \vm2\ положи-



308 Глава 6. Задачи нелинейной теории

тельна при любых \vm2\- Следовательно, a{vm2) существует при всех Vm2 lt; О и МОНОТОННО возрастаст с ростом \vm2\- Поэтому при данном а отрицательная одноэкстемальная форма существует и единственна при всех О lt; а lt; оо; кроме того, а{0) = О и da/dvm2 -оо, Vm2 О (рис. 6.13).

При а = ар (7) от ветви laquo;положительных raquo; одноэкстемальных форм ответвляются три ветви многоэкстемальных форм. Две из этих форм - несимметричные и отвечают путям изображающей точки АВА и ВАВ (рис. 6.11, б) и получаются одна из другой зеркальным отражением в плоскости, проходящей через середину струны перпендикулярно оси X. Третья форма симметричная и отвечает переходу В АВА.

Все эти формы могут быть найдены следующим образом. Рассмотрим laquo;положительную raquo; одноэкстремальную форму для некоторого а = laquo;1. Ей отвечает Vmi{oti)- Пайдем laquo;сопряженное raquo; значение Vm2 из (6.5.7). Определим laquo;2 из соотношения Vm2 = Vm2{ot2) для laquo;отрицательных raquo; одноэкстремальных форм. Тогда значению а = laquo;1 + laquo;2 будет отвечать двухэкстемальная форма типа АВА. Струна, имеющая такую форму, разбивается на два участка: на первом ее форма совпадает с одноэкстемальной формой при а = laquo;1, на втором - при а = а2. Аналогично определяются формы типа АВАВА, рождающиеся при а = 2ар и т. д.

Пусть теперь 7 gt; -1. Рассмотрим laquo;положительные raquo; одноэкстемальные формы. Они определяются соотношениями (6.5.3), (6.5.4), причем, как и в случае j gt; О, О lt; Vm lt; - Покажем, что как и при 7 gt; О, зависимость а = a{vm) имеет только один максимум. Применим косвенный прием, именно, покажем невозможность бифуркаций (расщеплений) экстремумов кривой а{Ут) при изменении 7. Как и ранее, da/dvm 00 при Vm О и da/dvm -оо при Vm 1, т.е. a{vm) имеет, по крайней мере, один максимум. Допустим, что при некотором 7 = 7 один максимум расщепляется на два максимума и минимум. Пусть при 7 = 7* максимум a{vm) достигается в точке Vm = Vm. Тогда при 7 = 7, i; = Vm* должно быть

да да

= О = О- (6.5.10)

dVm dVmdj

Допустим теперь, что при 7 = 7* рождается пара laquo;максимум-минимум raquo;. Из вида кривой a{vm) при 7 = - 1 следует, что при некотором 7 = 7**,7* gt; 7** gt; -1 эти экстремумы должны либо снова слиться друг с другом и исчезнуть, либо слиться с имевшимся ранее максимумом. В последнем случае равенства (6.5.10) будут выполняться при 7 = 7**. В случае же слияния экстремумов друг с другом значения Vmil), соответствующие максимуму a{vm), удовлетворяют соотноше-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 [ 100 ] 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118