www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 [ 101 ] 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

sect;6.5. Равновесие струны 309

ниям dvm{l)/dl = plusmn;00 соответственно нри 7 = 7*,7**. Поэтому должно существовать такое 7 в интервале (7*,7**), где dvm/dl = О, что возможно только в случае, когда выполняются равенства (6.5.10). Те же равенства должны выполняться и при любом другом способе рождения новых экстремумов.

Дифференцируя (6.5.5), получим

да л/2 } dz

F=[{l-Vm){l-VmZ)]-+J,

G = Vm{l + z- 2vmz)[{l - Vm){l - Vmz)]-, да V2 } dz

(6.5.11)

dvmdj 4 у y{i-z)

Покажем, что равенства (6.5.10) несовместны. С этой целью покажем, что можно найти такое число п, чтобы было

(i7-i/2 GF-3/2) ( j7-3/2 3GF-/2) gt; О (6.5.13)

при всех Z. Так как F, G gt; О, то для этого достаточно, чтобы п удовлетворяло системе неравенств F - п gt;0, -F + 3n gt;0. Покажем, что существует число п, удовлетворяющее более сильной системе

minF-n gt;0, -maxF + 3n gt;0, (6.5.14)

rninF = {1-Vm)~ +7, maxF = (1 -i;) +7. (6.5.15)

Очевидно, что такое n существует, если minF gt; 1, maxF lt; 3 или, что то же самое, если

(2 - 3vm){l - vm)- gt; -27. (6.5.16)

Докажем справедливость последнего неравенства. Соотношение (6.5.9) можно привести к виду

Ф{Уш) = I [y\l + j{l-Vm){l-Vmz)]-/dz. (6.5.17) о

функция гр - положительная монотонно убывающая функция Vm-Функция [vmil - Vm)] на полуинтервалс 1/2 lt; i; lt; 1 также монотонно убывает. Следовательно, a{vm) может иметь экстремум только



310 Глава 6. Задачи нелинейной теории

при О lt; lt; 1/2. Для таких Vm выполняется неравенство

{2-3vm){l-Vm)- gt;2. (6.5.18)

с другой стороны, при 7 gt; -1 будет -27 lt; 2. Таким образом, неравенство (6.5.16) справедливо, требуемое число п сугцествует, равенства (6.5.10) несовместны, рождение новых экстремумов при О gt; 7 gt; -1 невозможно и кривые a{vm) имеют только один максимум (рис. 6.13).

При 7 gt; - 1 существуют также laquo;отрицательные raquo; одноэкстремаль-ные формы равновесия. Зависимость а(1;ш2) в этом случае определяется по-прежнему соотношением (6.5.9), в котором, однако, должно быть \vm2\ gt;р = 1 + 1/7- Пайдем производную da/d\vm2\- Она имеет вид, аналогичный (6.5.11). При \vm2\ = функция, являющаяся аналогом д2 в (6.5.5), обращается в -z~/vp и соответствующий интеграл расходится, т.е. da/d\vm2\ -оо при \vm2\ Vp- С другой стороны, при \vm2\ 00 функция, являющаяся аналогом gi{z,Vm), убывает как \vm2\~j а аналог произведения 253 - как \vm2\~-Следовательно, при некотором \vm2\ производная da/d\vm2\ будет положительна. Таким образом, ветвь laquo;отрицательных raquo; одноэкстремальных форм имеет предельную точку (рис. 6.13).

В рассматриваемом случае существуют и многоэкстремальные формы. Простейшие из них рождаются из той ветви laquo;отрицательных raquo; одноэкстемальных форм, которая в точке {ap,Vp),ap = a{vp) расщепляется на три ветви, уходящие в сторону больших а. Из них одна отвечает трехэкстемальным симметричным формам АВАВ, а две других - двухэкстремальным несимметричным АВА и ВАВ (рис. 6.13). Эти ветви могут быть найдены указанным выше методом laquo;сложения raquo;.

Осталось рассмотреть случай 7 = - 1. В этом случае нагрузка, создаваемая электромагнитом при недеформированной струне, равна по величине и противоположна по направлению заданной внешней нагрузке. Поэтому при любых а имеется решение = О, отвечающее недеформированному состоянию.

Пайдем другие решения. Положив в (6.5.4) 7 = - 1 и сокращая на лщ, получим

= л/1 -m / \ -- gt; = (6.5.19)

л/2 { у V + il-VmZ)

Соотношение (6.5.19) при Vm gt; О описывает ту ветвь кривой г(а), в которую при 7 - gt;- - 1 + О переходит ветвь одноэкстремальных laquo;положительных raquo; форм, соответствующая случаю 7 gt; - 1 и расположенная между предельной точкой и точкой i; = 1. Другая ( laquo;нижняя raquo;) ветвь таких форм, примыкающая к точке а = О, Vm = О переходит сейчас в



sect;6.5. Равновесие струны 311

отрезок оси а между точкой а = О и точкой пересечения линии(6.5.19) с осью а. Полагая в (6.5.19) Vm = О, получим а = 7г/л/2. В точку Vm = О, а = 7г/л/2 приходит при 7 -1 + 0 предельная точка ветви laquo;положительных raquo; одноэкстремальных форм, так что касательная к линии Vm{ot) в данной точке вертикальна (рис. 6.15); это можно показать и с помогцью (6.5.19).

В ту же точку Vm = О, а = тг/л/2 при 7-1 + 0 приходит предельная точка ветви laquo;отрицательных raquo; одноэкстремальных форм. Отрезок этой ветви, расположенный между предельной точкой и точкой ветвления, переходит при 7 - 1 + О в отрезок (7г/л/2,7гл/2) оси а, а ее бесконечная часть - в бесконечную ветвь отрицательных одноэкстремальных форм, которые описываются тем же выражением (6.5.19), если заменить в нем Vm на - 1;ш2-

Кроме того, имеются еще многоэкстремальные формы, симметричные и несимметричные. Они ответвляются от недеформированного состояния при значениях а кратных 7г/л/2, образуя бесконечное число ветвей.

Обратимся теперь к исследованию устойчивости равновесных конфигураций струны.

Уравнение (6.5.1) можно получить из вариационного принципа

SV = 0, V = J [v - - jvyr, (6.5.20)

где к сравнению допускаются функции v{t) такие, что v{0) = 0, v{a) = 0, г; G L2(0,a) и v{t) lt; 1. Как и ранее, будем судить об устойчивости по знаку второй вариации функционала V на решении задачи (6.5.1) и использовать результаты Пуанкаре о смене устойчивости при изменении параметров.

Исследуем сначала устойчивость недеформированного состояния при 7 = - 1. Вторая вариация V на решении v = О имеет вид

SV = l{C-e)dr, (6.5.21)

где С(г) удовлетворяет условиям ((0) = ({а) = О, С G L2(0,a). Для таких ({т) известно неравенство [94]

j Cdr gt; I Cdr, (6.5.22)

Известно также, что если взять больший коэффициент перед интегралом в правой части (6.5.22), то можно найти такие ({т) из указанного



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 [ 101 ] 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118