www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 [ 102 ] 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

312 Глава 6. Задачи нелинейной теории

класса, что будет выполнено противоположное неравенство. Поэтому при а lt; 7г/л/2 будет 5V gt; О, т.е. недеформированное состояние до первой точки бифуркации устойчиво. В точке бифуркации а = 7г/л/2 недеформированное состояние становится неустойчивым первой степени неустойчивости, а устойчивость переходит к ветви laquo;отрицательных raquo; одноэкстремальных форм. Рассмотрев соответствующую задачу о собственных значениях, легко показать, что в следующей точке бифуркации а = 7гл/2 недеформированное состояние становится неустойчивым второй степени неустойчивости, а отходящие ветви будут первой степени неустойчивости и т.д., как в задаче о продольном изгибе.

Рассмотрим laquo;положительные raquo; одноэкстремальные формы при 7 gt; gt; -1. Возьмем некоторую форму 1;(г, laquo;,7) на ветви с меньшими значениями Vm При а = const и 7 - 1 эта форма непрерывно переходит в устойчивое недеформированное состояние. Поскольку устойчивость при таком переходе не меняется, то исходная форма устойчива. По виду кривой Vm = Vm{ot) при 7 = coHst заключасм далее, что в предельной точке устойчивость исчезает и ветвь с большими значениями Vm неустойчива.

Тем же путем находим, что при О gt; 7 gt; - 1 устойчива ветвь laquo;отрицательных raquo; одноэкстремальных форм, уходящая из предельной точки в бесконечность. Устойчивы также laquo;отрицательные raquo; одноэкстемальные формы при 7 lt; - 1. Все остальные формы неустойчивы.

Примечательно, что при О gt; 7 gt; - 1 существуют две непересекающиеся устойчивые ветви, причем на отрицательной ветви формы равновесия имеют точки перегиба (последнее обусловлено сменой возрастания и убывания W = V при увеличении г). Для сравнения укажем, что в ряде задач об эластике Эйлера формы с перегибами заведомо неустойчивы.

В задаче о равновесии струны под действием искривленного магнита без внешней нагрузки перемещения определяются согласно (6.2.19) как сумма найденной выше функции v{t) и полинома второй степени от г. В результате получатся только laquo;положительные raquo; формы без точек перегиба, как и должно быть в случае нагрузки, не меняющей знака при любых перемещениях.

sect; 6.6. Уравнение Эмдена-Фаулера.

Сведение к автономной системе, свойства ее решений

Как указано в sect; 6.2, задачи о равновесии круглой ферромагнитной мембраны и тяжелых нитей с токами сводятся к определению ограниченных в нуле решений уравнения Эмдена-Фаулера, в которых сте-



sect;6.6. Уравнение Эмдена-Фаулера 313

пень неизвестной функции в нелинейном члене равна соответственно -2 и -1. Найдем для этих задач вид зависимости решений от параметра и число решений.

Но сначала обобш,им задачу. Дело в том, что исследовать конкретные уравнения (6.2.17) или (6.3.11) немногим нрогце, чем исследовать уравнение Эмдена-Фаулера, не конкретизируя значения вхо-дягцих в него параметров. Кроме того, теория уравнения Эмдена-Фаулера представляет некоторый интерес и независимо от приложений к задачам магнитоупругости, так что имеет смысл пополнить*) ее исследованием случая, когда степень (п) неизвестной функции в нелинейном члене отрицательна. Рассмотрим поэтому уравнение Эмдена-Фаулера обш,его вида

с тремя параметрами к, т, п{п lt; 0). Будем искать только решения W gt; 0. При п рациональном с нечетным знаменателем (когда суш,е-ствует веш,ественное решение w lt; 0), заменой wi = -w случай w lt; О сводится к одному из последуюш,их. По той же причине считаем и р gt;0.

Уравнение (6.6.1) интегрируется в квадратурах лишь при некоторых сочетаниях значений кит. Но его можно свести к системе, не содержагцей аргумента явно, что упрогцает исследование. Введем*) новые переменные: аргумент г и неизвестную функцию г] соотношениями р = аехр(-г), W = Ьт]ехр{-6т). Придем к уравнению

т] -{26-р + кр)т] + 6{6-Р + кр)т] plusmn;

2+m-fen-i2n ехр{[(5(1 - п) - (2 + ш - к)]т} = о (6.6.2) {ti= dTi/dr).

Примем

2+ш-кп-1р2 (2 + ш - А:) = 1 - п (6.6.3)

*) Уравнение Эмдена-Фаулера впервые было получено в связи с задачей о распределении температуры в газовом шаре [111]. Задачи такого рода приводят лишь к случаю гг gt; 0; только этот случай изучен и для уравнения обш;его вида. Теория уравнения Эмдена-Фаулера с гг gt; О изложена, например, в книгах Р. Беллмана [8] и Дж. Сансоне [83], где ей отведены специальные главы.

*)Р. Эккеберг, исследовавший частный случай уравнения (6.6.1), использовал другую подстановку [109]. Одновременно тот же случай был изучен и указанным ниже способом [101, 102].



314 Глава 6. Задачи нелинейной теории

(случай 2 -\- т - к = О будет рассмотрен особо). Тогда т не войдет в (6.6.2) явно и вместо (6.6.2) можно записать систему

ту = = (с+1),9-с7у + 77у,

(6.6.4)

7 = plusmn;1, c=l-f3 + kf3.

Здесь 7 = -1, если в (6.6.1) берется знак плюс перед нелинейным членом, и 7 = 1 при знаке минус.

Далее будут использоваться соотногаения, вытекаюгцие из (6.6.4)

(с - 1)г/(г) = (с7?о - raquo;?о)е - iVo - о)е+

+71[е-) - е- laquo;] raquo;? (аС, (6.6.5) (с - 1Щт) = {сщ - 1?о)е - с{щ - а)е +

vo = m, 0 = (0).

Рассмотрим различные сочетания знаков с и 7 и определим в каждом случае вид интегральных кривых системы (6.6.4), а также оценим скорость возрастания /у(г), i9(r) при г оо.

1. Пусть с gt; О, 7 = 1. Тогда система (6.6.4) имеет особую точку ту = тус, = О, г]с~ = с. Положим С = /у - /Ус и линеаризуем (6.6.3) вблизи особой точки. Получим

С = 1 = {с+ - с(1 - п)С. (6.6.6)

Характер особой точки определяется коэффициентами системы (6.6.6). Рассмотрим под случай, когда

(с - 1) +4пс lt; О (6.6.7)

и особая точка - неустойчивый фокус. Проведем линию L с уравнением (с+I)i9 = cr] + jr] и наметим в соответствии со знаком производной

di/dj] = [{с + 1) - с/у + 77у] (6.6.8)

направления интегральных кривых = (ту) в полуплоскости O/yi (стрелки на рис. 6.14, а; их ориентация отвечает увеличению г). Пайдем также вторую производную

= -[(с - - (с + 1)(с77 - 7гу ) + (cry - 7гу )2]. (6.6.9)

Трехчлен относительно д в квадратных скобках (6.6.8) положителен при Г] lt; г]д, т]д~ = - 1/4(с-1)/п. Отсюда следует, что ось Oi9 не может



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 [ 102 ] 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118