Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 [ 104 ] 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

318 Глава 6. Задачи нелинейной теории

а на всех остальных интегральных кривых конечен

lim г]{г)е- = lim i9(r)e . (6.6.22)

г-оо г-оо

Наконец, нри с = 1 на разделяюгцей кривой конечен

lim г]{т)е- = lim т(r)e- (6.6.23)

г-оо г-оо

а на остальных кривых конечен

lim г]{г)е-- = lim 1}{г)е--\ (6.6.24)

г- gt;-оо г- gt;-оо

Этот случай, рассмотренный в [101, 102, 109], охватывает задачи о равновесии ферромагнитной мембраны и о притяжении нитей с токами, а также задачу о равновесии электростатически заряженных капель [109, 117].

Во втором подслучае, когда (с-1) + 4пс gt; О, особая точка системы (6.6.4) - неустойчивый узел (рис. 14, б). Оценим наклон интегральных кривых на полупрямой д = zi{iri - rjc), т] gt; vjc где

zi = i(c + 1) + у1(с - 1)2 + ПС. (6.6.25)

Кривая г] при ту gt; О, п lt; О выпукла вниз и, следовательно, лежит по одну сторону от любой своей касательной. Взяв касательную, прохо-дягцую через точку ту = тус, получим

ry gt;ry, + nry( -i)(77-77,). (6.6.26)

Применим неравенство (6.6.26) к выражению для dd/dri на рассматриваемой полупрямой:

dd сту ту

- =с+1---V + -V gt;

бТу Zi{r]-r]c) Zi{r]-r]c)

gt; с + 1 - + + \ - = ZI.

zi{v-Vc) zi{r]-r]c)

Отсюда следует, что интегральная кривая, оказавшаяся при т9 gt; О левее прямой т9 = (ту-тус), не может перейти вправо и, следовательно, не может далее пересечь ось Оту. Ввиду этого интегральная кривая может иметь не более двух пересечений с осью (не считая того, что она выходит из узла). Суш,ествуют кривые, вообш,е не пересекаюш,ие оси Оту. Такова, в частности, разделяюш,ая кривая. Действительно, min (с, 1) lt; lt; zi, т.е. прямая при с gt; 1 пересекает Б, а при с lt; 1 - прямую С. Следовательно, если бы разделяюш,ая кривая пересекала Оту, то она должна была оставаться выше прямой т9 = zi(Ty - тус) и не могла бы иметь прямую В или С своей асимптотой. Таким образом, интегральные кривые при тг lt; - 1 имеют вид, указанный на рис. 6.14, б. Скорость возрастания решений при г оо такая же, как при (с - 1) + 4тгс lt; 0.

sect;6.6. Уравнение Эмдена-Фаулера

Наконец, случай (с - 1) + 4пс = О отличается от случая (с - 1) + + 4пс gt; О лишь тем, что все интегральные кривые касаются в узле одной и той же прямой д = zi{iri - rjc).

2. Пусть с lt; О, 7 = -1. Особая точка системы (6.6.4) будет ту = = тус, = О, г]~ = -с. Линеаризуя (6.6.4) как нри выводе уравнений (6.6.6), получим, что при с lt; О особая точка - седло, s Пусть - 1 lt; lt; с lt; 0.

Рис. 6.15

Наметив направления интегральных кривых (стрелки на рис. 6.15, а), заключаем, что нри п lt; - 1 имеются кривые, асимптотически приближаюгциеся к оси О77. На этих кривых бесконечное значение д достигается за конечное laquo;время raquo;. Действительно, допустим, что ту О, т9 00 при г 00. Тогда

г оо

что невозможно, так как последний интеграл расходится. Аналогично, если ту О, т9 00 нри уменьшении г, то т ограничено снизу.

Как и ранее, из (6.6.5) получаем, что на участках кривых, где ту, т9 00 при г 00, конечны Итту(г)е~ и Итт9(г)е~, а на участках, где ту 00, т9 -00 нри г -оо, конечны Итту(г)е~ и Итт9(г)е~. Если ту(г) 00 при г plusmn;00, то

lim / е lt;=( - laquo;)7? (ае = 0, lim [ e-ir] {Od = 0. (6.6.28)

Глава 6. Задачи нелинейной теории

Поэтому на указанных участках соответственно - туОит - стуО (рис 6.15, а).

Если с lt; - 1 , то L и интегральные кривые трансформируются согласно рис. 6.15, б. При с = - 1 кривая L вырождается в прямую г] = г],

а система (6.6.4) и исходное уравнение Эмдена-Фаулера интегрируются в квадратурах. Поведение регаения остается прежним.

3. Если с gt; О, 7 = -1, то система (6.6.4) не имеет особых точек, L не пересекает ось Оту и при ту = ту, Г] = = -с/п, достигает минимума. Очевидно, что существуют интегральные кривые, не пересекающие L и пересекающие эту кривую два раза (рис. 6.16), при тг lt; - 1 они имеют ось Оту своей laquo;двусторонней raquo; асимптотой. Покажем, что имеются кривые, пересекающие L Рис 6 16 один раз. Пайдем di/dr] при т9 = 1/2(с+

+ 1)ту. Получим, что dd/df] gt; 1/2(с + 1) при ту gt; ту/, ту[~ = 1/4(с- 1), т.е. интегральная кривая, оказавшись в области ту gt; ту/, т9 gt; 1/2(с+1)ту, не может выйти из нее и должна уйти в бесконечность.

Пусть с gt; 1. Из (6.6.5) находим

т9 lt; (с - 1)-М(о - Vo)e + (стуо - )е ]. (6.6.29)

Отсюда следует, что кривая, оказавшаяся ниже Б, пересекает L. Поэтому интегральные кривые могут уходить в бесконечность (ту, т9 оо) лишь выше В. Среди них имеется единственная, асимптотически приближающаяся к В (разделяющая кривая). Покажем это. Среди интегральных кривых существует laquo;первая raquo; кривая, не пересекающая В. Возьмем туо,т9о на том ее участке, где стуо gt; то, что, очевидно, возможно. Заменим под интегралом во втором соотношении (6.6.5) ту() на туо-Учитывая, что ту() возрастает с ростом г, получим

т9(г) gt; /(г,туо,т9о) = (с - 1)-1[стуо - т9о + туо )е + (сто - стуо - туо )е].

(6.6.30)

Допустим, что имеется точка, где то - туо gt; туо/с. Тогда существует такое г gt; О, что т9о - г - туо gt; туо/с. Возьмем кривую, проходящую через точку (туо, то - s). Примем туо, то - s за начальные данные и рассмотрим участок последней кривой до пересечения с Оту. Па этом участке ту (г) возрастает и, следовательно, т9(г,туото - е) gt; /(г,туо,т9о - s), причем т9(0,туо,то - s) = /(О,туо,то - s) = 10-6. Однако последнее неравенство