www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе |
Динамо-машины Нелинейная электромеханика
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 [ 105 ] 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118
sect;6.6. Уравнение Эмдена-Фаулера
невозможно. Действительно, /(г, тусо - в) - возрастающая функция г, а функция i9(r, тусо - ) при некоторых значениях т должна убывать, поскольку кривая с начальными данными туо, о- laquo;начинается raquo; ниже laquo;первой raquo; из кривых, не пересекающих В и L. Таким образом, на laquo;первой raquo; из кривых, не пересекающих В, справедливы неравенства О lt; - Г] lt; т] /с, которые означают, что эта кривая имеет В своей асимптотой.
/ / / | ||
Рис. 6.17
Записав уравнение, аналогичное (6.6.13), можно убедиться, что разделяющая кривая единственна.
На разделяющей кривой существует конечный Ит7у(г)е~ gt; О при г 00 и т. д. аналогично случаю с gt; О, 7 = 1. При с lt; 1 разделяющая кривая асимптотически приближается к С и т. д. также аналогично случаю с gt; О, 7 = 1.
Случай с gt; О, 7 = - 1, рассмотренный в этом пункте, охватывает задачу об отталкивании нитей с токами.
4. Когда с lt; О, 7 = 1, приходим к рис. 6.17, а (при с gt; - 1) или к рис. 6.17, (при с lt; -1).
В этом случае всегда конечны
lim т]{т)е~ = lim i9(r)e~,
г- gt;-оо г- gt;-оо
1 (6.6.31)
lim ri{tau)e- = - lim raquo;?(т)е-
Г- -ОО С Г- -ОО
Это относится и к случаю с = - 1, когда система (6.6.4.) и исходное уравнение Эмдена-Фаулера интегрируются в квадратурах.
Глава 6. Задачи нелинейной теории
5. При с = 0 имеем рис. 6.18, а (при 7=1) и рис. 6.18,6 (7 = -1). Свойства решений на кривых, асимптотически приближаюш,ихся к Oi) и Б, такие же как и в других аналогичных случаях. Рассмотрим кри-
Рис. 6.18
вые, асимптотически приближаюш,иеся к оси Оту. При 7 = - 1 такая кривая единственна. Вместо соотношений (6.6.5) имеем
о г (6.6.32)
/у = /уо - 0 + ое - j(е- - 1)/у (0е о
Из (6.6.32) и условия т9 О при г оо следует, что ту(г) при больших т растет как интеграл от г]{т), т. е. ту = г, г/ = (1 - п)~. Таково же поведение ту (г) при г - оо в случае рис. 6.18, а.
6. При 2-\-т - к = в (6.6.2) следует положить (5 = 0. Приняв еш,е к/З - (3 = 1, придем к системе (6.6.4) того же вида, что и в предыдуш,ем случае (с = 0), но с иной связью между т] и w.
sect; 6.7. Равновесие ферромагнитной мембраны и нитей с токами
Зная поведение ту (г) при - оо lt; г lt; оо, можно установить свойства w{p) при о lt; lt; 00, в частности, найти, как изменяется w при р О и р оо. Это позволяет определить количество и некоторые свойства решений краевых задач с условиями w{a) = l,w{0) или w{oo) -
sect;6.7. Равновесие ферромагнитной мембраны 323
ограничено. К первой задаче сводятся указанные ранее задачи магнитоупругости, а также задача о равновесии электростатически заряженных капель [109, 117].
Пусть (3 gt; 0. Тогда р О отвечает г оо, а оо соответствует т -00. Выберем в (6.6.2), (6.6.3)
а = а, Ь= (-2a---2)V(--i). (6.7.1)
Тогда значению р = а будет соответствовать г = О и краевое условие w{a) = 1 даст г]{0) = 1/Ь. Поэтому связь между р, w и г, г] примет вид р = ае, W = туГтуе . Рассмотрим задачу с условием: w{0) ограничено; оно требует, чтобы существовал конечный \1тг]{г)е~ при г оо.
Наиболее интересен результат при с gt; 1, 7 = 1. В этом случае произведение т]{т)е~ ограничено при условии, что функции г]{г), i9(r) дают параметрическое представление разделяющей кривой. Последнее условие и условие 770 = 1/ определяют искомые регаения краевой задачи. При данном значении а решений столько, сколько раз разделяющая кривая пересекает прямую г] = щ = (а).
Пусть (с - 1)2 + 4пс lt; 0. Обозначим через /у*2, значения Г] в точках пересечения разделяющей кривой с осью Оту; нумерация их отвечает движению но разделяющей кривой при убывании г. При г]о lt; 7у*1 краевая задача не имеет решений, нри щ gt; г]2 имеется одно решение, нри rji lt; щ lt; rj - два и т.д. Существуют промежутки изменения щ (или а), где будет т решений, т - любое целое положительное число. При 770 = Tjc задача имеет бесконечно много решений (точнее, имеется их счетное множество).
Так как
= 6-1а-1е(-1)(7у-79), (6.7.2)
то w{p) монотонно возрастает от некоторого Wm до единицы нри увеличении р от нуля до а, причем Wm = Vo 1 т](т)е~.
Рассмотрим зависимость Wm{ot)- При а О будет = щ оо и (см. (6.6.17))
lim Wm = lim [iJq lim г]{г,г]о)е~] =
?7o- gt;-cx) ?7o- gt;-cx) r- gt;-oo
= 1 - lim
ryooo
= 1 - lim
Г12- gt;-oo
= 1- lim -
ri2oo туо
j е-Ш,щ,)-Щ,щ,Щ = 1. (6.7.3)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 [ 105 ] 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 |