www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 [ 106 ] 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

Глава 6. Задачи нелинейной теории

Здесь /у(,/уо) с переменным щ выражена через некоторую функцию vij Vo* с фиксированным начальным значением туо* соотношением

(,о) =/у( + Г12,7уо*). (6.7.4)

Найдем производную

dwm dr]o d

da da dr]o dr]o Г 1

Щ J

Щ Щ j 0 L d

1 Щ-о

Здесь использованы соотношения типа dr]{,r]o) 1 dr]{,r]o)

ар 0

wm. (6.7.5)

dr]o 10 d 10

(6.7.6)

после чего член, содержаш,ий dd/d, проинтегрирован по частям.


Рис. 6.19

Так как на разделяюш,ей кривой г] gt; то знак производной dwm/da, согласно (6.7.5), противоположен знаку iq. Рассмотрим совокупность решений таких, что точка (тусо) лежит на участке разде-ляюш,ей кривой, уходяш,ем из точки (/y*i,) в бесконечность. Для этих решений gt; О и dwm/da lt; О, т.е. Wm убывает с ростом а при О lt; lt; а lt; где таково, что 6~(a*i) = 7y*i. Нри lt; а lt; суш,ествуют решения, когда точка (тусо) лежит на завитке разделя-юш,ей кривой, соединяюш,ем 7y*i и 7у*2- У этих решений io lt; О и Wm возрастает с ростом а. Рассматривая решения на следуюгцих завитках разделяюш,ей кривой, получим в результате кривую Wm{ot) довольно редкого вида (рис. 6.19, а); кривая вьется около прямой а = ас = = {Рг]1~У~~\ так что при а = ас имеется бесконечное число решений.



Равновесие ферромагнитной мембраны


Рис. 6.20

Уравнение равновесия ферромагнитной мембраны (6.2.17) приводится к виду (6.6.1) после умножения на р. В результате получим А: = 1, ш = 1, п = -2, = 3/2, b = (9/42)3, с = 1, что, как указывалось, соответствует случаю с gt;0,7=1, (с-1) + 4пс lt; 0. Следовательно, зависимость безразмерного прогиба в центре мембраны Vjn ОТ параметра а можно получить из рис. 6.19, а после замены = 1 - учитывая еще то, что г]с = 1, laquo;с = = 2/3, придем к кривой равновесия т( laquo;), указанной на рис. 6.20.

Ранее было установлено, что на монотонной ветви разделяющей кривой 0 lt;7у - i9 lt;7y/c. В данном случае получим О lt; Г] - д lt; 1/г]. Это дает О lt; (ту - т9)е2 lt; {г]е~)~ и, следовательно, величина {г]-д)е ограничена при г 00. Из (6.7.2) находим теперь, что е(-1)(7у-т9) = е/{т]-) О при г 00 и dw/dp О при р О, т.е.

при любой форме равновесия мембрана в центре имеет касательную плоскость, параллельную плоскости контура. Исключение составляет форма равновесия, соответствующая ту = тус, ее уравнение v{p) = = 1 - (3/?/2)2/. Мембрана, изогнувшаяся таким образом, похожа на воронку с заострением в центре. Естественно, что это решение и близкие к нему (на кривой равновесия) следует рассматривать лишь как формальные, так как столь большое значения dv/dp не соответствуют предположениям, принимаемым при выводе исходных уравнений.

Рис. 6.20 дает лишь качественный вид кривой равновесия. Чтобы получить численные значения, нужны иные методы, например, численное интегрирование (нриведенное выше исследование его существенно облегчить). Некоторые численные результаты получены Р. Эк-кербергом [109]: в частности, им найдено, что первая предельная точка достигается при а 2 0.9, Vm 0.35, т. е. и для мембраны возможны лишь довольно небольшие относительные прогибы.

Некоторый отрезок кривой равновесия, примыкающий к недефор-мируемому состоянию, очевидно, содержит устойчивые формы. Однако сразу нельзя утверждать, что устойчива вся первая ветвь до предельной точки, так как от этой ветви при значениях а, меньше предельного, могут ответвляться неосесимметричные формы. Окончательное суждение об устойчивости будет сделано в следующем параграфе с помощью более общих результатов.



{pf)-p{p)z = 0, z{a)=0, И0) lt;оо ((6.7.8)

326 Глава 6. Задачи нелинейной теории

В задаче о притяжении нитей с токами (см. (6.3.11)) имеем к = = 1,ш = 0, п = -1,; = 2, 6 = 2у/а, с = 1. Это соответствует тому же случаю, что и задача о мембране. Сделав замену р = l/4s, можно также перейти от (6.3.11) к уравнению, где тик равны их значениям в задаче о мембране. Кривая равновесия имеет прежний вид (рис. 6.20), но теперь ас = 1/4. Неплоские формы в случае притяжения невозможны, что доказывается следуюгцим образом. Выпигаем уравнения равновесия, аналогичные уравнениям притягивающихся струн d / dw\ w d / dz\ z

Тр{)- = Тр(%)- =

w{a) = 1, z{a) = 0.

Положим p{p) = {w +z)~. Очевидно, что какова бы ни была неотрицательная p{p)j краевая задача d / dz\ dp V dp) имеет только регаение z = 0.

Аналогичным образом можно рассмотреть случай с gt;1,7=1,(с - - 1) +4пс gt; 0. В результате придем к кривой г(;(а), представленной на рис 6.19, 6. Интересно, что в этом случае кривая - \ - Wjn подходит к точке i; = 1, не имея особенностей при меньших значениях а. Однако неясно, существует ли физическая система, которой соответствовала бы такая кривая. Интересен и более общий вопрос: существует ли система идеально ферромагнитных тел, допускающая без потери устойчивости все значения максимального перемещения вплоть до соприкосновения близко расположенных поверхностей.

В случае с gt; 1, 7 = -1 кривая Wjn{oL) имеет вид рис. 6.19, е. В этом случае решение краевой задачи существует и единственно при всех а. Носледнее относится, в частности, к задаче о плоских формах равновесия отталкивающихся нитей, если ограничиться определением форм, когда нити не соприкасаются. Ветвь этих форм не содержит бифуркационных решений и, следовательно, не пересекается с ветвями неплоских форм, что можно показать также и для отталкивающихся струн. Кроме того, существуют формальные решения, описывающие плоские формы с заострением, аналогичные формам с заострением у струн. Если laquo;обычным raquo; формам отвечает движение, начавшееся со значения г = О, ту = туо, на разделяющей кривой, то формам с заострением соответствует сначала движение по кривой, где i9 - gt;- - оо, 77 - gt;- О (рис. 6.16), затем перескок на разделяющую кривую и движение по ней от значений /у = О, i9 = оо к значениям 7y,i9 оо. В этом случае достигаются значения 7y = 0,i(; = 0,i; = l, т. е. нити соприкасаются.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 [ 106 ] 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118