Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 [ 107 ] 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

sect;6.8. Об устойчивых формах равновесия 327

Кривые рис. 6.19 относятся к случаю с gt; 1. При с lt; 1, независимо от знака 7, уравнение (6.6.1) допускает двунараметрическое семейство решений г]{г) таких, что \1тг]{г)е~ конечен при г оо. Поэтому краевая задача с условиями w{a) = 1, \w{0)\ lt; 00 имеет однопарметриче-ское семейство решений. Равным образом краевая задача с условием laquo;w ограничено при р оо raquo; либо не имеет решений, либо имеет семейство их. При (3 lt; О сказанное относительно задачи с условием ограниченности в нуле переносится на задачу с условием ограниченности на бесконечности и наоборот.

sect; 6.8. Об устойчивых формах равновесия проводников с токами

Краевая задача о формах равновесия проводников с токами была сформулирована в sect; 6.3. При этом уравнения равновесия первоначально параллельных проводников была сведена к краевой задаче

Хи Xw /. du\ /oi\

-7 2 L 2 -7 2 L 2 r = :r --

В обозначениях sect; 6.3

л 2 2 72

s = --, Л=к:/, и = w, I

/. du\

Уравнения (6.8.1) совпадают с уравнениями материальной точки в поле центральных сил, величина которых обратно пропорциональна расстоянию. Движение происходит в плоскости, где u,w - декартовы координаты, а центр притяжения или отталкивания расположен в начале. Орбитой будет проекция струны на эту плоскость. Требуется найти траекторию, которая, начавшись нри s = О в точке и = 1, w = О, при S = I приходит снова в ту же точку.

Для нритягиваюш,ихся струн 7=1, чему соответствует движения точки под действием отталкиваюгцей силы. При этом не сугцествуют замкнутые или самопересекаюгциеся траектории. Поэтому вернуться в исходное положение тело может только при движении по прямой, проходяш,ей через центр, при условии, что его скорость первоначально была направлена к центру. Только эти движения и могут соответствовать решению рассматриваемой краевой задачи. Так как исходная точка и = 1, W = О лежит на оси Ои, проходяш,ей через центр, то w = = 0. Вместо системы (6.8.1) имеем одно уравнение

й--= 0, и{0)=и{1) = 1. (6.8.2)

328 Глава 6. Задачи нелинейной теории

Введем переменную v = 1 - и - отклонение струны от недеформированного состояния. Тогда

V +--, v{0) = v{l) = 0. (6.8.3)

1 - V

Это уравнение допускает первый интеграл + 1п(1 - v) = h, откуда следует, что интегральные кривые на плоскости vv симметричны относительно оси V. Поэтому форма струны должна быть симметрична относительно оси, проходящей через ее середину; в середине достигается максимальное перемещение Vm- Таким образом, постоянная в первом интеграле равна 1п(1 - v). Дальнейгаее интегрирование с учетом условия v{0) = О дает

л/2Л2 7 Vln(l -V)- 1п(1 - Vm) V Л2 W

о Lp{v)

l() = л/1п(1 -V)- 1п(1 - Vm), l(O) = л/-1п(1 - Vm)

При lt; 5 lt; 1 зависимость v{s) определяется равенством v{s) = г(1 - - s). Форма струны найдена теперь с точностью до постоянной Vm-Для ее определения нужно использовать второе граничное условие или эквивалентное ему соотношение v(\j2) = Vm- Полагая в (6.8.4) s =

= 1/2, V = Vmj получим

y/-ln{l-Vm)

1 = F{vm) = (1 - Vm) I e dz. (6.8.5)

Этим определена зависимость прогиба Vm от единственного параметра Л. Построив кривую Vm = Vm{)

(рис. 6.21), называемую кривой равновесия, находим, что при одном значении параметра струна может иметь либо две формы равновесия, либо одну (соответствующая точка А на кривой называется предельной, либо не иметь равновесия вовсе.

Максимальное значение , при котором существует решение Рис. 6.21 (6.8.5), равно 2.34189; соответ-

ствующее значение Vm = 0.5745 (точка А на рис. 6.21). При увеличении Л от нуля до наблюдается сближение Vmmin и immax- При

sect; 6.8. Об устойчивых формах равновесия 329

Л = Л, Vmmin = mmax- ИсСЛедуеМ УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛуЧСННЫХ ВСТВСЙ

равновесия. Запишем однородную задачу в вариациях где

a(.,A) = -L-. (6.8.6)

Это линейное уравнение имеет либо единственное решение, либо семейство решений, зависяш,ее от произвольных постоянных, когда Л равно одному из собственных чисел р задачи

if pa[s,\) = О,

(6.8.7)

((0) = ((1) = 0. Сведем эту задачу к интегральному уравнению Фредгольма

где ядро

= j K{s,Ti)a{Ti,XMTi)dTi, (6.8.

K{s,ri) = \ (6.8.8)

[ {l-r])s, S lt;Г].

Далее, задавая Л, находим vo{s, Л) из (6.8.4), а из (6.8.8) находим решение уравнения в вариациях и зависимость /i(A) (рис. 6.21). Значение Л, нри котором оно совпадет с /i, является предельной точкой ветвления. Нижняя ветвь является устойчивой, а верхняя неустойчивой.

Чтобы исследовать устойчивость найденных форм притяжения с выходом из плоскости проварьируем второе уравнение (6.8.1) положив и - uq, W = 0:

Ч (6.8.9)

п{о) = 7?(1) = 0.

Очевидно, что это уравнение имеет при любом Л только нулевое решение, т. е. плоские формы притяжения не теряют устойчивости с выходом из плоскости.

Случаю 7 = - 1 соответствует отталкивание струн или притяжение к центру. Найдем здесь плоские формы равновесия. Им отвечают движения по прямой, проходяш,ей через центр.

При начальной скорости, направленной от центра, тело будет сначала двигаться от центра, затем к центру и вернется в исходное положение (уйти в бесконечность, не возвраш,аясь, тело не может, так