www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 [ 108 ] 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

Глава 6. Задачи нелинейной теории

как должно выполняться неравенство h - lnu gt; О, где h - постоянная энергии). Такому движению (от начала до возврагцения) может соответствовать решение исходной задачи, в котором w = 0. Интегрируя получаюш,ееся уравнение для и

V-Z-=0, v{0)=v{l) = 0,

находим

ip2{v) = Vln(l - Vm) - ln(l - V),

(6.8.10)

2(0) = vln(l - Vr,

Ha рис. 6.21 показана зависимость Vm{)- Нолучаюш,аяся серия форм сугцествует при всех Л, зависимость Л от Vm взаимно однозначная. Примеры форм vo{X,s) приведены на рис 6.22.

Эта серия форм служит продолжением нижней ветви (6.8.5) по параметру 7Л, однако этого недостаточно для суждения об ее устойчивости. Для рассмотрения устойчивости форм отталкивания запишем --- однородную задачу в вариациях

-. (которая получается варьировани-

ем (6.8.1) при Uq = 1 - Vq, Wq = 0)


т = (1) = о.

7У(0) = 7у(1) = 0.

(6.8.11)

Первое уравнение имеет при любом Л только нулевое решение, т. е. плоская форма отталкивания не может потерять устойчивость, не выходя из плоскости. Второе же имеет нулевое решение, либо семейство решений. Семейство решений возни-

кает, если Л равно одному из собственных чисел р задачи (р + =0. Покажем, что это невозможно.



Об устойчивых формах равновесия

Имеем два уравнения

Г - = о,

и А2

(0) = (1) = о,

7У(0) = 7у(1) = 0.

(6.8.12)

Первое уравнение имеет при любом Л только нулевое решение, т. е. плоская форма отталкивания не может потерять устойчивость, не выходя из плоскости. Второе же уравнение имеет либо нулевое решение, либо семейство решений. Семейство решений возникает, если Л равно одному из собственных чисел /i, задачи + (/?(0) = р(\) - 0.

Покажем, что это невозможно. Имеем два уравнения

( + 4 = 0. lt; + - = 0. (6.8.13)

Умножим первое из них на и, второе на сложим их, а затем проинтегрируем от О до 1. Возьмем интеграл со вторыми производными но частям:

(0)-(1) + (А-М) / -=0.

У МО о

Вычтем (6.8.14) из (6.8.13)

(6.8.14)

О -о

(6.8.15)

Пусть в (6.8.15) р = pi, = 1 - первые собственная частота и функция. Функцию ipi{s) можно выбрать положительной; Vo{s), как было замечено выше, отрицательная, поэтому uo{s) = 1 - vo{s) - положительна. Следовательно, оба интеграла положительны и р1 gt; X при любом Л. Так как равенство р = X невозможно, то рассмотренная серия плоских форм не содержит бифуркационных решений. Из того, что она служит продолжением устойчивой серии форм в задаче о притягиваюш,ихся струнах, следует, что эта серия форм отталкивания устойчива.

Пеплоские формы здесь не могут быть рассмотрены. Отметим лишь, что они заведомо сугцествуют. Так, элементарно находятся формы отвечаюш,ие круговой орбите. При этом и = cos As, г; = sin As. А из граничных условий и{0) = и{1) = 1, w{0) = w{l) = О получаем, что А = 27ГП, т. е. форма струны - винтовая линия, имеюш,ая п витков.



Глава 6. Задачи нелинейной теории

Такие формы существуют парами - в виде право- и лево- закрученных спиралей, что отвечает двум направлениям вращения материальной точки вокруг центра. Расстояние между соответствующими

0,8 0,6 0,4 0,2 О

7 N



-0,5 О 0,5

Рис. 6.23

точками проводников р постоянно по их длине и равно единице. Примеры таких винтовых линий для п = 1 и п = 2 изображены на рис. 6.23.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 [ 108 ] 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118