www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе |
Динамо-машины Нелинейная электромеханика
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 [ 109 ] 110 111 112 113 114 115 116 117 118
ПРИЛОЖЕНИЕ
HI. Системы,
интегрируемые в нервом нриближении метода усреднения
Решение задач гл. 2 и 5 основано на нрименении асимптотических методов нелинейной механики. Хотя эти методы широко известны, думается, что имеет смысл остановиться на некоторых специальных вопросах, относяш,ихся к теории асимптотических методов, имеюш,их определенное значение для изложения дальнейшего.
Известно, что усредненные уравнения метода Крылова-Боголюбова в высших приближениях составляются неоднозначно, поскольку со-ответствуюгцая замена находится с точностью до произвольных функций медленных переменных. Естественно попытаться выбрать эти функции так, чтобы упростить усредненные уравнения. Как показывается в настояш,ем параграфе, такая возможность открывается, в частности, в случае, когда известен обш,ий интеграл уравнений первого приближения. В этом случае выбором указанных произвольных функций можно добиться, чтобы все старшие члены усредненных уравнений обратились в нуль, т. е. усредненные уравнения в любом нриближении совпадали с уравнениями первого приближения.
Рассмотрим систему в стандартной форме
x = sX{x,t,s) = Xo{x,t) +sXi{x,t) + ... . (П1.1)
Здесь X, X - n-мерные вектор-столбцы; считается, что функция t,г), периодическая по явно входяш,ему времени t с заданным независимым от ж, г периодом, имеет все встечаюш,иеся далее частные производные и эти производные равномерно ограничены при \г\ lt; Sq и ж из некоторой области. В ш-м приближении метода усреднения нри-ближенное решение Хт определяется соотношением
хш= + ещ(, t) + е\2{, t) + ... + t). (П1.2)
Здесь функции ixi(, t),..., Um-i{ t) - периодические по t; медленные переменные зависят от номера приближения ш, однако для упрош,е-пия записи вместо будем писать .
Система относительно , вообш,е говоря, имеет вид
i = eEoiO + eHi {О + + (О- (П1.3)
334 Прилоэюение
Функции щ,..., Um-1 И, соответственно, функции Si,..., S
т - 1 находятся неоднозначно, поскольку к Ui можно добавить произвольную функцию ; это, однако, не влияет [67] на аппроксимацию точных решений X приближенными Хт-
Пусть известен обш,ий интеграл усреденной системы первого приближения
i = eEo{0- (П1.4)
Покажем, что в этом случае можно найти указанные выше произвольные добавки к Ui так, чтобы все функции Si,... ,S i были тождественно равны нулю. Тогда усредненные уравнения в любом приближении совпадут с уравнениями первого приближения и могут быть проинтегрированы.
Рассмотрим соотношения для определения функций ui, 1x2, Sq, Si
EoiO + - = MU),
=1 (6 + --0 (6 + -- =--ui t) + Xl t).
(П1.5)
Функция So() находится однозначно
Eo{0 = {MU)), (П1.6)
где угловые скобки означают среднее по времени за период. Выражение для ui запишем в виде
и, = I {Xo{,t)-Eo)dt + Uci{0 = Uy,{,t)+uci{0- (П1.7)
Здесь и далее индексом г/ обозначаются квадратуры, имеюш,ие равное нулю среднее за период по времени; Ud - пока произвольная функция .
Функция Si находится из условия периодичности U2
H.( = (-*fi)Ho+e .+.V.(e.,)). (ПГ8,
Внося (П1.7) в (П1.8), получим
duci дЕо
1 - -кто -
Ual+GiiO, (П1.9)
Gi{0 = {u,i+Xi). (ШЛО)
Подберем функцию Ud так, чтобы Si() = 0. Это требование приводит к уравнению относительно Ud
Eo = ...+G.(6. (П1.11)
П1. Системы, интегрируемые в первом приблиэюении 335
Точнее говоря, для вектор-функции Ud получена система дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с одинаковой главной частью [54].
Характеристической системой для уравнения (П1.11) является система [54]
- 0 k- 77 - 1
duci до Uci Gi
Индекс к в первой группе уравнений (П1.12) обозначает к-ю компоненту вектор-столбцов ((i),... ,()) и Sq = ..., S ). Неизвестными в (П1.12) являются п - 1 функция \),... и п компонент вектора Uci{). За аргумент в (П1.12) можно взять и любую другую компоненту вектора .
Если известен общий интеграл уравнений (П1.4) вида = С,
где т = st, то можно найти и общий интеграл первой группы уравнений (П1.12). Для этого следует исключить медленное время г из п соотношений F(,r) = С и получить п - 1 соотношение вида =
= С*, где С* - п-1-мерный вектор-столбец. Еще одна постоянная, содержащаяся в общем интеграле системы (П1.4), уходит при исключении г, поскольку система (П1.4) автономна, и одна постоянная входит аддитивно с г. Здесь можно также обойтись без общего интеграла уравнений (П1.4) - достаточно знать их п - 1 автономный интеграл.
Вторая группа уравнений (П1.12) тоже интегрируется, поскольку она получается из системы уравнений в вариациях для уравнения (П1.4). Чтобы получить уравнения этой группы, нужно к уравнениям в вариациях добавить неоднородность Gi () и взять за аргумент вместо времени.
Рассмотрим неоднородную систему с аргументом т и неизвестной Ucl
= --сг + сш (П1.13)
Ее общее решение будет
эс(г + си,а) , =-дс-+
дс J дс
xGi((i? + С( \ + С( )). (П1.14)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 [ 109 ] 110 111 112 113 114 115 116 117 118 |