www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе |
Динамо-машины Нелинейная электромеханика
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 [ 110 ] 111 112 113 114 115 116 117 118
336 Прилоэюение
Здесь А - п-мерный вектор-столбец произвольных потоянных, а функции (г + СС*) получаются laquo;обращением raquo; общего интеграла F{) = через (7 обозначена постоянная, входящая в решение системы (П1.4) аддитивно с г.
Чтобы получить общее решение второй группы уравнений (П1.12), нужно в (П1.14) сделать замену г+ (7 = /(\ С*), которую можно найти, определив из п уравнений т) = С зависимости (, G*), ..., С*), т + (7(-) = filC,).
Теперь можно записать общий интеграл системы (П1.12). Вместо (П1.14) имеем
I дС J J V дС J
X + C\C.))d{ + C()lr+c()=/(C(),c.) = A. (П1.15)
Далее в (П1.15) следует заменить С* на
Придем к соотношению вида Hi{uci,0 - М вместе с соотношением = С оно составляет общий интеграл системы (П1.12).
Общее решение системы (П1.11) получится отсюда следующим образом. Возьмем п произвольных дифференцируемых функций 2п - 1 аргументов (пусть эти функции составляют вектор Ф) и запишем п функциональных уравнений
*(F.(C),Fi(Mei,a)=0. (П1.16)
Вектор-функция Ф должна быть такой, чтобы уравнения (П1.16) были разрешимы относительно Uc\. Тогда из (П1.16) найдется зависимость ci(0, обеспечивающая равенство Si = 0.
Очевидно, что при таком способе laquo;степень произвольности raquo; в выборе функций Uc\ меньше, чем в общем случае, однако неясно, как количественно оценить уменьшение этой laquo;степени raquo;.
Для определения функций iXc2, , cm-i получаются уравнения
Ho(C) = u + G,(C), (П1.17)
отличающиеся от уравнения (П1.11) видом laquo;неоднородной raquo; части G; функция G будет на г-м этапе известной функцией . Следовательно, Uci будут определяться тем же путем, что и только с заменой Gi на Gi.
Вместо соотношения (П1.2) можно искать приближенные решения в виде
ж = + еиг(, г, t) + ... + e-Um-i(, г, 1). (П1.18)
П1. Системы, интегрируемые в первом приблиэюении 337
В общем случае, если не пытаться laquo;убить raquo; функции Si,.. .,S
m-15 такие замены, зависящие явно от медленного времени г, по-видимому не рациональны, так как усредненные уравнения высших приближений получаются неавтономными и более сложными, чем нри обычной замене. При использовании же предлагаемого способа неато-номная (по г) замена приводит даже к более простым соотношениям, чем автономная.
При использовании замены переменных с явно входящим медленным временем т усредненная система будет иметь вид
i = sEoiO + еЕ,{,т) + ... + e-Em-i{,r),
(П1.19)
f = s.
Функция So() по-прежнему определяется соотношением (П1.6), а ui возьмем в виде ui = Uyi{, t) + ici(,где функция ui - та же, что в (П1.7). Для U2{,r,t) получим уравнение
i{,r) +---oiO + +
дт dt
dXoit)
Условие периодичности U2 no t дает
ui{,T,t)-Xi{,t). (П1.20)
dui dui dXo ,
-0 - + + / (П1.21)
Потребуем, чтобы Si = 0. Придем к уравнению для Ud, аналогичному (П1.11)
%H. + = f (П1.22)
Gi = (г*.1+Х1(,*)). (П1.23)
Соответствующая характеристическая система будет
(П1.24)
Из общего интеграла F{,t) = С системы (4), иринциниально говоря, можно найти зависимости (т, С). Решение второго уравнения (И 1.24) будет
дат,С) дат,с)
Ucl = -т:77-А +
дс дс
l{yGmC))d. (П1.25)
338 Прилоэюение
Отсюда находим общий интеграл, аналогичный (П1.15). Заменяя в этом интеграле С на г), придем к соотношению вида H{ucijj г) = = А. Введем, как и ранее, п произвольных дифференцируемых функций, образующих вектор Ф, и составим уравнения
Ф(Р(,г),ЯК1,,)) = 0. (П1.26)
Если функции Ф выбраны так, что уравнения (П1.26) разрешимы относительно Uci, ТО из (П1.26) найдутся зависимости Uci{,r), обеспечивающие равенство Si = 0.
Для следующих функций Uc2,..., Ucm-i получаются уравнения вида (П1.22), где, однако, функции Gi будут зависеть от и г. От г будут также зависеть функции Ujy2j ,Uym-i-
Предложенный способ можно применить также к системам с одной быстрой фазой
X = гХ{х,(р,г),
(П1.27)
ф = uj{x) + гФ{х,(р,г), UJ gt; 0.
Действительно, введя новый аргумент ср, придем к системе в стандартной форме.
Наконец, этот способ можно использовать и при усреднении систем со многими быстрыми переменными, отличными от фаз [28]
X = eX{x,y,t,e), у = Y{x,y,t,e). (П1.28)
В частности, интересны квазилинейные системы
X = eX{x,y,t,e), у = А{х)у + (П1.29)
В этом случае можно использовать разложения, описанные в [77], или просто исключить быстрые переменные, определив коэффициенты разложения
y = yo{t,x)+syi{t,x) + ... . (П1.30)
При дифференцировании (П1.30) производные х подставляются из первого уравнения (П1.29); после подстановки (П1.30) в первое уравнение (П1.29) получим систему в стандартной форме.
П2. Высшие приближения метода усреднения для систем с разрывными переменными
Рассмотрим систему, состояние которой характеризуется п-мерным вектором ж, являющимся разрывной функцией времени. Пусть в промежутках между разрывами система описывается уравнениями в стандартной форме
X = eX{x,t,e). (П2.1)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 [ 110 ] 111 112 113 114 115 116 117 118 |