www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 [ 111 ] 112 113 114 115 116 117 118

П2. Высшие приблиэюения метода усреднения 339

Когда фазовая точка в расширенном фазовом пространстве ж, t выходит на поверхность F{x,t,e) неизвестная х терпит разрыв. Пусть tj - момент разрыва. Связь между значениями переменной ж до и после разрыва описывается соотношением

x{tj +0) -x{tj -0) =e/\{x{tj -0),tj,s. (П2.2)

Функция A, заданная на поверхности F{x,t,s), предполагается такой, что после разрыва фазовая точка пересекает поверхность, т.е. переходит из части пространства, где F{x,t,s) gt; О (или F{x,t,s) lt; О в часть пространства, где F{x,t,s) lt; О или F{x,t,s) gt; 0). При этом невозможны скользягцие режимы, когда повторные пересечения происходят через малое время порядка е. Предполагается также, что при \е\ lt; Sq функции X, F, А непрерывны по t, определены в некоторых областях соответствуюш,их пространств, имеют непрерывные производные по ж, г любого нужного далее порядка и равномерно ограничены в этих областях вместе с указанными производными.

Цель последуюш,его - описать и обосновать применительно к рассматриваемым системам аналог метода усреднения для систем в стандартной форме в любом нриближении.

В первом приближении метод усреднения для систем с разрывными неременными был предложен и обоснован в работах A.M. Самой-ленко (см, например, [82]). В этих работах обоснование метода приводится при более слабых, чем в настояш,ем параграфе, требованиям к гладкости встречаюш,ихся функций, в частности, правых частей уравнений движения между разрывами. При этих условиях даже для систем с непрерывными переменными обоснование метода усреднения в нервом [12] и высших приближениях оказывается суш,ественно более сложным, чем в случае, когда имеется нужное число ограниченных производных (в последнем случае обоснование метода усреднения в нервом приближении приведено, например, в [4]). Соответственно, в предположениях настоягцей работы было бы сугцественно нрогце, чем в [1,2], обосновать метод для систем с разрывными неременными в нервом приближении.

Согласно предлагаемому методу ш-е приближение иш,ется в виде

хш=и+ eur\U,t,e) + ... + г-11хЛ(и,,), (П2.3)

где uf -2т:/и - периодические функции времени, имеюш,ие разрывы при t = timi = 1,..., /i. Функция rri непрерывна и для нее строится уравнение того же вида, что и laquo;обычном raquo; методе усреднения

и = sEoiU) + ... + e-S-i(U). (П2.4)

Моменты разрыва определяются в виде разложения

tim = UoiU) + sAtiliU) + ... + s-Atim-i{U)- (П2.5)



340 Прилоэюение

Для определения tim используется уравнение F{xte) = 0. Далее для простоты предполагается, что при всех ж, г из рассматриваемой области это уравнение в полуинтервале О lt; lt; 2т:/ио имеет одно и то же число h простых корней ti{x,s).

Поскольку функции ui - 27г/со - периодические по времени, то достаточно рассматривать корни только из указанного полуинтервала.

Приближенные значения моментов разрыва можно искать параллельно с функциями Ur. По для сокращения описания метода удобнее на этом этапе не определять tim { ,т, О и выражать коэффициенты разложения (П2.5) и правые части уравнений (П2.4) через эти функции.

Разложения же (П2.5) найдутся в конце вычислений.

Обозначим коэффициенты в (П2.3) и правые части уравнений (П2.4), выраженные через неизвестные пока функции соот-

ветственно через u\m,t,s) и причем и и S зависят

от г только посредством tim, , /i,m (такую зависимость от т индексом можно не отмечать). Отсюда следует, что, желая найти, например, (ш + 1)-е приближение, можно использовать функции и\ найденные и вычислении ш-го приближения, заменив у и tim индекс на ш + 1. То же относится к функциям S и S, но не к Ur\ времена разрывов которых предполагаются вычисленными согласно (П2.5). Вместо (П2.3), (П2.4) получим

хш = и+ eu\U,t,e) + ... + г-ix-i)(U,t,s) =

(П2.6)

= sS(o)(U,s) + ... + s(-i)(U,s),

im = sS(o)(U,s) + ... + s-\U,s). (П2.7)

функции Sr в (П2.4) получатся laquo;переразложением raquo; правых частей (П2.7) по S после того, как будут найдены и внесены в (П2.7) разложения (П2.5), а Ur получатся из и просто подстановкой (П2.5).

Для вычисления функций ix в промежутках между разрывами следует подставить (П2.6) в (П2.1), продифференцировать ix по t, учитывая, что т - функция времени, заменить т правой частью (П2.7), разложить X по степеням г, используя формулу Тейлора с остаточным членом порядка г, и приравнять в левой и правой части коэффициенты при одинаковых г.

При вычислении выражений {ди/дт)т следует учитывать зависимость и от т посредством tim, , t/; НО при балансе членов с одинаковыми степенями s принимаются во внимание только степени s перед функциями Six и их производными; сами эти функции по степеням г не разлагаются. Получатся уравнения относительно и\



П2. Высшие приблиэюения метода усреднения 341

формально такие же, как и в laquo;обычном raquo; методе усреднения.

Подставив, кроме того, (П2.6) в (П2.2) и используя формулу Тейлора для функции А, получим соотношения, из которых определяются разрывы функций и\ Эти соотношения имеют вид

Ail = и{и.кш + о,г) - и{и.кш - О,г) = А(,t,,0), Ai2 = и {U, iirn + О, г) - 1/(2) {U, Urn - О, г) =

(П2.8)

и т.д. в (П2.8) производные функции А вычисляются при ж =

г = О, t = tim] зависимость t,... ,tim от при разложении по г не

учитывается.

Суш,ественно, что из (П2.8) можно найти разрывы функции ui, не зная самой этой функции. Обратимся к уравнению для ix в промежутке между разрывами

о (1)

(С , е) + = X{U, t, 0). (П2.9)

Пз требования 27г/а;-нериодичности разрывной функции и определится

S() = (X(U,t,0)) + A,i,

(П2.10)

AX(U,t,0)) = I X(U,t,0)t.

Среднее значение (X(,t,0)) также зависит от г, поскольку оно вычисляется для функции, имеюш,ей разрывы при ti(m, , thmim,)- Далее из (П2.9) и первого соотношения (П2.8) найдем t

и = [t, 0) - E)dt J2 iMt - Um)- (П2.11)

Здесь сг - функция Хевисайда, cr(t - t) = О, t lt; t, сг * (t - t) = 1, t gt; tim] значения сг нри t = не рассматриваются. В правой части (П2.11) можно, как обычно в методе усреднения, добавить произвольную функцию т (такие функции здесь и далее для краткости опуш,ены). Зная функцию и\ можно из второго соотношения (П2.8) определить разрывы функции ix а также записать уравнение для 1x2 между разрывами. Пз условия 27г/а;-периодичности ix получим



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 [ 111 ] 112 113 114 115 116 117 118