www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 [ 112 ] 113 114 115 116 117 118

342 Прилоэюение

выражение для S

Далее можно найти м

(П2.13)

При вычислении ди /дш и далее в аналогичных случаях следует, как уже указывалось, учитывать, что ui зависит от и через tim{m,0-Эта производная будет функцией, определенной везде в рассматриваемой области, кроме моментов времени t = tim и 27г/с(;-периодической по t.

Продолжая процесс, можно вычислить разрывы функции ix в промежутках между разрывами, из условий 27г/а;-периодичности и определить Е\ затем саму и и т.д. Для определения же функции (m-i) как и в laquo;обычном raquo; методе усреднения, нужно приписать в (П2.3) член найти разрывы А функции ix и запи-

сать уравнение относительно и между разрывами. Саму функцию и() вычислять не надо (она нужна лишь для построения улучшенного ш-го приближения).

Далее следует подставить (П2.3) с уже известными функциями u\ ,m,t) В уравнение F{x,t,s) = О и использовать (П2.5). Получим

F{U+eu4U,tim-0,e+.. .+e-\U,tim-0,e),tim,e) = 0. (П2.14)

Величины ix() , Um - О, г) = ix){U,Uo + --- + s-Atim-i - 0, г) зависят от tio,..., t/iO, , At/i, Ш - 1 и их производных по Их можно разложить по степеням г, удерживая нужное число членов, то же относится к функциям S (m, )- После этого можно разложить и функцию F от указанных аргументов. Приравнивая затем нулю коэффициенты при степенях г, придем к уравнениям относительно tfo, Ai и т.д. Из рассмотрения немалых членов получим

i(U,tio,0) = 0, (П2.15)

откуда найдутся h корней tio(m), = 1,..., /г.

Рассмотрим члены первого порядка. В них входят величина

иЧи,и-0,е) = 1 (X(U,t,0) -)t + А,-1,

(П2.16)



П2. Высшие приблиснсения метода усреднения 343

которую следует разложит по степеням г. Это разложение запишем в виде

и iUUm - 0) = Uuo + SUul + . . . + e li,m-l + , (П2.17)

где многоточие означает остаточный член а формуле Тейлора. Первый член разложения будет

tiO f,

uii,o{U,Uo) = / (X-S)t + A(U,t,-o,0), (П2.18)

-o = V- / (U,,0)t+A(U,t,o,0). (П2.19)

Для определения Ati получим линейные уравнения

Здесь произодные с индексом laquo;гО raquo; вычисляются при х = m,t = tio, s = 0.

Чтобы показать, какого вида величины получаются при разложениях по степеням е, рассмотрим еще уравнение для Aii2- Получим

/dF\ , ,

\ raquo;. i \ 0. (П2.21)

Здесь интерес может представлять выражение для uui

Atii

rdF\

KdxdeJ io

Aii2=0.

3 = 1

- deg; = Е( sect;ЬД*- (П2-22)

В следуюш,ем приближении придется разлагать по степеням г повторные интегралы от разрывных функций, в которые г входит, помимо прочего, в пределы интегрирования. Сугцественно (и это уже видно из (П2.20), (П2.21)), что свободный член и коэффициент при Atir в линейном уравнении для Atir будут известны, если вычислены Ati,..., Atir-i.



344 Прилоэюение

Поправки к временам разрыва можно искать и несколько иначе. Рассмотрим уравнение F{xte) = 0. Оно имеет h решений t\xe). Подставляя сюда х из (П2.7), получим tim{m,0 - t\m + eix + + ... + Используя затем (П2.5), найдем Atir, которые

будут выражены через функции t* и их производные.

Входе описанных вычислений определятся и разложения функций Нт,0- Внося ЭТИ разложения в (П2.7) и удерживая нужные степени г, получим уравнение (П2.4). В первом приближении нужно найти только величины to, А(, to, 0) и функцию S = Sq , с точностью до обозначений получатся результаты, приведенные, например, в [82].

При вычислении разрывов решения Хт

XmiU + 0) - XmiU - 0) = sA{U,tim, 0) + sAi2 + . . . + S Ai-i

(П2.23)

посредством tim, , thm войдут слагасмыс, содержаш,ие laquo;лишние raquo; степени г. Их также нужно устранять переразложением, используя (П2.5).

В результате все величины, не зависяш,ие от явно входяш,его времени t, будут представлены разложениям по степеням е. Пе разлагаются лишь функции Ur.

Пусть для исходной задачи задано начальное условие ж (to). Из (П2.3) можем найти соответствуюш,ее начальное условие для т - Пусть при этих начальных условиях найдено решение = /(t) уравнения (П2.4). Приближенное решение исходной задачи получится, если подставить т = f{t) В (П2.3). Тогда аргументом функции Хевисайда в выражениях для Ur будет разность t - tim{f{t),s). Отсюда можно вычислить времена разрывов tm как решения уравнений tm = = Tim{f{t),s). Под Tim{ ,m,0 здссь понимается бесконечно-значная функция, которая получается, если взять h зависимостей tim{ ,m,0 на полуинтервале О lt; t lt; 27г/а;и повторить их 27г/а;-периодически по оси Tim- Индекс к принимает значения к = ki, ki -\- 1,..где ki зависит от tg. Можно также сначала найти значения т при разрывах из уравнения t,rn = j[iim[rn а затем tm .

Возможен вариант метода, когда поправки к моментам разрыва Aik иш,утся одновременно с функциями ui\k = 1,..., ш, входяш,ими в нужные приближения. Исходим из того, что tfo можно найти, не зная функции U(j.y Зная to, можно найти и в виде (П2.10), но с разрывами при t = tfo- Имея такую функцию, можно найти поправки Atfi и

построить функцию и\ , имеюш,ую разрывы при t = to + Ai, т.е. в этом варианте метода рассматриваются функции, имеюгцие разрывы сначала при to, потом при to + Ai и т.д.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 [ 112 ] 113 114 115 116 117 118