www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 [ 113 ] 114 115 116 117 118

пз. о качественном исследовании двиэюений 345

ПЗ. о качественном исследовании движений с номош,ью асимптотических методов нелинейной механики

Общие теоремы асимптотических методов для систем в стандартной форме [67] или систем со многими быстрыми и медленными неременными [28] позволяют судить о близости точных и приближенных решений на конечном интервале времени порядка 1/г, г - малый параметр. Для исследования свойств решений этих систем на бесконечном интервале времени используются, во-первых, теоремы о существовании у исходного уравнения точных решений онределенного вида (например, квазипериодических), получаемых методом интегральных многообразий [68], во-вторых, теоремы об аппроксимации точных решений приближенными на бесконечном интервале. Из теорем второго типа часто оказывается полезной теорема Банфи [110] и ее обобщение на системы со многими быстрыми переменными [92].

Однако, эти результаты применимы лишь при довольно жестких ограничениях на решения усредненной системы: равномерная асимптотическая устойчивость в случае теоремы Банфи, существование предельного цикла у уравнений первого приближения в случае теоремы о квазипериодических решениях и т. д. в частности, не охватывается случай, когда в нервом нриближении усредненная система является laquo;нейтральной raquo;, например, консервативной, а затухание или предельный цикл обнаруживается в высших приближениях. Тогда приближение, в котором впервые обнаружены, например, затухающие колебания у усредненной системы, не дает аппроксимации решения исходного уравнения на бесконечном интервале времени. Это видно уже в случае равномерной эксноненциальной устойчивости, обнаруживаемой в высших приближениях [77].

Подобная ситуация встречается при изучении медленных движений твердого тела в переменном магнитном поле. В наиболее интересном случае, когда laquo;чисто механические raquo; обобщенные силы потенциальны, например, моменты силы тяжести, первое приближение в осредненных уравнениях движения описывает консервативную систему, движения которой могут быть качественно изменены силами следующего порядка малости. Поэтому вторые приближения необходимы, чтобы иметь осреденные уравнения, описывающие качественно определенные движения - затухающие или нарастающие колебания.

Пиже излагается простой способ чисто качественного исследования движений с помощью асимптотических методов нелинейной механики в условиях, когда для точных решений исходной системы и приближенных решений, полученных по методу усреднения, известна



346 Прилоэюение

лишь близость на конечном интервале времени. Качественное сравнение точных и приближенных решений проведем для систем в стандартной форме и квазилинейных систем со многими быстрыми переменными.

Обозначим через x{t) искомый п-мерный вектор-столбец, удовле-творяюгций системе в стандартной форме

x = sX{x,t,s), г gt;0, (П3.1)

а через ж (() , г) - ш-е приближение к полученное по методу усреднения

Уравнение для имеет вид

d/dt = + ... + = (ПЗ.З)

При этом предполагается, что функция X при t gt; t*, г lt; и ж из некоторой области Б непрерывна по t и равномерно ограничена вместе с производными порядка ш по ж и г, а функции Si,..., Em и ixi,..., Um-i равномерно ограничены вместе с первыми производными по соответственно при () е D и () eD,t gt;t.

Рассмотрим функцию определяемую соотношением

x = U+eui{U,t) + + е {U,t) (П3.4)

(поеледуюш,ее не изменится, если, как это чаш,е делается в методе усреднения, ввести (t,s) аналогичным соотношением, содержаш,ем член 0(г)).

Известна следуюш,ая оценка близости функций и (). Пусть ж (to) G Doc, где область такова, что ее laquo;-окрестность, а = 0(s), совпадает с D. Пайдем с помош,ью (П3.4) ш(о); при достаточно малых будет ш(о) rQ.. Пусть решение уравнения (ПЗ.З) при начальном условии to) = ш(о) па промежутке tg lt; t lt; tg + Т/е остается в Da. Тогда для функций (),

т С указанными начальными условиями при достаточно малых е lt; справедливо соотношение

lmW-( (i)l lt;c e ,

(По.о)

to lt; t lt; to + г/г,

где с, Г не зависят от г.

Далее указываются некоторые случаи, когда по свойствам функции можно установить аналогичные свойства функции т па бесконечном интервале времени.

Рассмотрим некоторую ограниченную область Di и ее (5 окрестность Ds, S = ds~, d = const gt; О, причем Ds С D, и однозначную скалярную функцию V(,s), определенную в Ds,s lt; г*. Предполага-



пз. о качественном исследовании двиэюений 347

ется, что \dV/d\ ф О при lt; В,е lt; г* и существуют

Ум = sup y{i,e),

F= sup - .

Теорема 1. Пусть при сделанных предположениях существует такая функция У(, г), что для любого решения (t) уравнения (ПЗ.З), остающегося в течении какого-либо промежутка времени вида t lt; lt; t lt; t- -\- Т/г в Ds, выполняется неравенство

y(W(t(o) +г/г)) gt; +г-1о (П3.6)

с одним и тем же Wq gt; О для всех gt; lt; г* и всех указанных

Тогда не существует решений rn{t), остающихся в Di при всех

t gt; и.

Замечания. 1. Условие (ПЗ.б) заведомо выполняется, если в существует функция У(,в), производная которой в силу уравнений (ПЗ.З) удовлетворяет соотношению V gt; swq, wq = const gt; 0; тогда можно принять Wo = WqT.

2. Пз условия (ПЗ.б) сразу следует, что не существует решений (t), остающихся в Ds при всех t gt; t. Действительно, пусть Но) Ds. Рассмотрим промежуток времени to lt; t lt; to + кТ/е, к - целое. По истечении этого промежутка времени функция V на любом решении, остающимся в Ds, получит приращение V((to + + кТ/е)) - V(Ho)) gt; ke-Wo. В результате при достаточно большом к значение функции V[, ) на решении \t) превзойдет Vm, что невозможно.

Доказательство. Сопоставим с laquo;точным raquo; решением m{t),m{to) G G Dl, последовательность laquo;приближенных raquo; решений j\t),j = 0,1,... определяемых условиями

ir\to) = Ы*о), r\to + Tie) = U{to + T/e),

\to+jT/e) = U{to+jT/e). Покажем, что невозможно, чтобы при всех сколь угодно больших j на промежутках to + jT/s lt; t lt; to + (j + 1)Т/г было j(t) G Ds. Пусть j(t) G Ds,to + jT/s lt; t lt; to + (j + l)T/s при всех j. Тогда

,m{to +jT/s) G Ds при всех j. Па решении ,Q\t) при to lt;t lt;to-\-T/s функция V{,s) no условию теоремы получит приращение

(io + T/e)) - 1/(4 (to)) gt; e -Wo. (П3.7)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 [ 113 ] 114 115 116 117 118