www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 [ 114 ] 115 116 117 118

348 Прилоэюение

Рассмотрим величину V(m(o +Г/г)). В соответствии с (П3.5)

\V{U{to + T/s)) - V{lr){to + T/s))\ lt;

lt; F\U{to + T/s) - lr\to + T/s)\ lt; Fcms . (П3.8) Отсюда следует

V{U{h + T/s)) gt; V{o + T/s)) - sFcm. (П3.9)

Учитывая, что ( (0) = V{m{h)), и обозначив W = Wq{1 -

- sFcm/W), из (П3.7), (П3.9) получим оценку

V{U{h + T/s)) - V{U{h)) gt; s-W, (П3.10)

Тем же путем (сравнивая с приращением V{[ (t)) на промежутке to+T/s lt;t lt;to-\- 2T/s) можно оценить V{rn{to + 2T/s). Аналогично (П3.10) получим

V{U{to + 2T/s)) - V{U{to + T/s)) gt; s-W,

Отсюда и из (ПЗ.Ю) следует

V{U{to + 2T/s)) - V{U{to)) gt; 2s-W, (П3.11)

Используя j + 1 функций Q,..., j, получим

ViUito + iJ + l)T/s)) - ViUito)) gt; iJ + l)e-W. (И3.12)

В результате при достаточно большом j величина y((to + (j + l)T/s)) превзойдет Vm, что невозможно.

Следовательно, существуют такие к и ti, t - О + кТ/s lt; ti lt; to + -\-{k-\-l)T/s, что (ti) Dl. Точно также показывается, что ,m{t) не выйдет не только из Di, но и из любой (5-окрестности Di, где в lt; 1, в не зависит от s.

Полезно оценить время At, за которое решение m{t) заведомо выйдет из области Dl

- sW

Теорема 2. Пусть функция V удовлетворяет условиям теоремы 1 и, кроме того, везде в D производная У, вычисленная в силу уравнений (ПЗ.З), неотрицательна. Пусть область Di ограничена поверхностями У - Ci,V - С.С gt; Ci, причем все поверхности семейства V -

- С замкнуты. Тогда любое решение m{t), m{to) G Di по истечении некоторого времени пересечет поверхность V = С2 и навсегда покинет область Dl.

Замечание. Обозначим поверхность V = С через S{C). Из указанных выше свойств производной dV/d следует, что семейство 5(c) не имеет особенностей в D. Поскольку поверхности замкнуты, то они



пз. о качественном исследовании двиэюений 349

охватывают одна другую. Предположим, что для всех С lt; С поверхность S{C) охватывает S{C ); это позволяет употреблять выражения laquo;область вне 5((7i) raquo;, laquo;внутри S{C2) raquo; и т.п. Случай, когда S{C ) охватывает S{C), рассматривается аналогично.

Доказательство. Покажем сначала, что m{t) обязательно окажется внутри S{C2). laquo;Приближенное raquo; решение Q\t) может выйти из Ds, только пересекая S{C2). Если Q\t) выходит из Ds на промежутке to lt; t lt; to + Т/г, то (t) выйдет из Di на том же промежутке через 5((72) (если ш(о) лежит близко к границе S{Ci), то laquo;по пути raquo; m{t) может выходить из Dl через эту границу, что не суш,ественно).

Пусть (t) е Ds нри to lt; t lt; to + Т/г. Точка (to + Т/г) лежит внутри S{Ci) на расстоянии р от нее. Для р имеем оценку (аналогичную (П3.8)) р gt; г-Цо/Т. Точка (to + Т/г) в силу (ПЗ.б) тоже будет находится внутри S{Ci) на расстоянии pi = 0{р) от нее. Рассмотрев функцию [\t), получим, что точка rn{to + 2Т/г) будет находится внутри S{Ci) на расстоянии р2 gt; р1-\-г~] /Г от границы. Па втором промежутке точка ,m{t) уже не может оказаться вне S{Ci). Далее получим ps gt; р1-\-2г~Ш/F и т. д. Следовательно, точка m{t), которая должна выйти из Di по теореме 1, выйдет из Di через S{C2).

Пусть теперь m(i) лежит внутри S{C2). Пусть некоторое число решений j(t), o(ti) и т.д. остается в Ds- Тогда уже на втором промежутке ti + Т/г lt; t lt; ti + 2Т/г решение ш() не может выйти за S{C2) так же, как и ранее решение ш() на соответствуюш,ем промежутке не могло выйти за S{Ci). Остается случай, когда решение (t) выходит из Ds. Обозначим через См наибольшее значение С, нри котором S{C) целиком лежит в Ds] См - С2 = 0{г~). Па промежутке tl + кТ/г lt; t lt; tl -\- {к -\- 1)Т/г точка m{t) может оказаться вне S{Cm) лишь на расстоянии 0{г) от границы. Теперь очевидно, что независимо от того, выйдет или не выйдет (t) за Ds, m{t) и на следуюш,ем промежутке не попадет в Di.

Пз теоремы 2 следует

Теорема 3. Пусть поверхности S{C) при С С стягиваются в точку. Пусть для любого сколь угодно малого ту gt; О суш,ествует такое г(7у), что при г lt; г{г]) lt; г* и (72 - С* = ту выполняется теорема 2. Тогда при достаточно малых г, начиная с некоторого t = t{r]), решение m{t) навсегда останется в сколь угодно малой ту-окрестности точки У = (7*.

Согласно (П3.4), решение x{t) исходной системы (П3.1) в условиях теоремы 3 при достаточно больших t будут оставаться в (ту + + ((г))-окрестности точки У = (7*. Пусть точка У = (7*. Пусть точка У = (7* соответствует положению равновесия некоторой механической



350 Прилоэюение

системы. Тогда колебания, описываемые исходной системой (П3.1), будут качественно представлять собой суперпозицию вида (П3.4) медленного эволюционного движения, стремящегося laquo;почти raquo; к положению равновесия, и малых быстрых вибраций. При достаточно больших t движение сведется к малым быстрым колебаниям около среднего положения, может быть, медленно блуждающего в малой окрестности положения равновесия. Такие колебания мало отличаются от квазистатических.

В случае, когда поверхность S{C ) охватывает S{C) при С gt; gt; С, из теоремы 2, следует, что решение ,m{t) навсегда выйдет за поверхность 5((72). Если условия теоремы 2 справедливы при достаточно больших или даже сколь угодно больших (72, то x{t) в этом случае будет описывать наложение малых вибраций на laquo;уходящее raquo; движение.

В теоремах 1-3 после очевидных изменений можно основываться на существовании не возрастающих, а убывающих функций V; например, в теореме 1 можно взять условие

(to + T/s)) - У((-)(t( deg;))) lt; -s-Wo, предполагая, что существует inf У в Ds.

Функцию V можно найти в случае, когда в первом приближении или в нескольких низших приближениях уравнения (ПЗ.З) допускают первый интеграл У(, г) = const, а в следующем приближении этот интеграл исчезает, причем можно установить знак У. Очевидно, что в этом случае У = 0(г ), т - номер приближения, в котором впервые исчезает интеграл. Наиболее прост часто встречающийся случай, когда У = const - интеграл энергии, а соотношение У = О, нарушается вследствие диссипации, выявляемой в старших приближениях.

Приведенные теоремы можно распространить на системы отличные от систем в стандартной форме, если для них доказана близость точного и приближенного решений на интервале Т/г, а определение приближенного решения сводится к интегрированию автономной системы. Таковы, например, квазилинейные системы со многими быстрыми переменными, отличными от фаз

i = eXi.,y,t,e),

y = A{x)y + f{x,t). Здесь х,у - искомые п- и мерные векторы-столбцы, матрица А{х) такова, что ее собственные числа Ai (ж),..., Л/ (ж) удовлетворяют условию ReXi lt; -fi lt; О, /i = const.

Для системы (П3.13) имеем [66, 77]

lt;c(rs-, \y-y-\\t,s)\ lt;bme.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 [ 114 ] 115 116 117 118