www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе |
Динамо-машины Нелинейная электромеханика
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [ 12 ] 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118
42 Глава 1. Описание электромеханических систем
коэффициентов взаимоиндукции контуров твердого тела и контуров внешних источников неременного ноля.
Ограничимся случаем, когда J{t) - периодическая или квазипериодическая функция
J(t) = COS ikt + JkiJkt)j (1.5.3)
считая, что разности частот щ - Vj имеют примерно ту же величину, что и наименьшая из частот vi. При этом электромагнитные силы Fe = J[dM/dq] г будут содержать составляюш,ие с частотами порядка Vl и выше. Эти составляюгцие вызовут механические колебания с амплитудами изменения координат порядка [Fer]/ii [гг]), = 1,...,п, где квадратные скобки означают характерные значения соответствую-ш,их величин. В случае высокочастотного тока J эти амплитуды будут малыми по сравнению с характерной величиной [qr] изменения координаты qr.
Введем малый параметр е соотношением ~ [Fer]/(ii [rr]br]) B задаче о медленных движениях предполагается, что значения импульсов имеют порядок г по сравнению с величиной В соответствии с этим обобш,енные силы Q нужно считать малыми [Qr] = = того же порядка, что и силы [Fer]-
Введем безразмерное время, равное произведению размерного времени на безразмерные координаты и токи как отношения размерных величин к их характерным значениям и безразмерные импульсы, равные отношению размерных импульсов к
Сохраняя за безразмерными импульсами прежние обозначения размерных величин, придем к уравнениям
= = 4-2 (1.5.4)
Ы + Ri + {JMy = 0.
Сделанные предположения и уравнения (1.5.4) соответствуют ряду технических приложений: ориентированию деталей магнитным полем, подвеске твердого тела при бестигельной плавке, некоторым магнитным подвесам и т. д. Другой тип задач о движении твердого тела в магнитном поле - быстрые врагцения - изучен в [63]. В этом случае в уравнениях, аналогичных (1.5.4), малый параметр входит только перед электромагнитными силами.
В соответствии с П.1 иш,ем решение уравнений (1.5.4) в виде асимптотических рядов:
= + sixi (, /у, t) + ..., р = ту + (, ту, t) + ...,
(1.5.5)
г = zo(,t) +szi(,Ty,t) + ... .
sect;1.5. Асимптотическое преобразование 43
Функции ui, vi будем выбирать с нулевым средним значением
to+T
{щ)=\1т [ ui{,ri,t)dt = 0, (1.5.6)
Тоо 1 J to
что обеспечивает единственность вторых приближений в осредненных уравнениях. Для , т] будем строить уравнения вида
(1.5.7)
77 = гЯ1(,7у)+г2Я2(,7у) + ...,
ограничиваясь членами порядка О(г). При этом достаточно найти io,ii, которые удовлетворяют уравнениям
Lio + + MJ = О,
Здесь считается ,77 = const и уже учтено, что Si = А~г]. Чтобы получить (1.5.7) достаточно определить только периодические или квазипериодические решения уравнений (1.5.8)
го = {1ок cosukt + Jok sinz/t),
ii = {IikC08iykt-\- Jikinukt).
(1.5.9)
Подставляя (1.5.9) в (1.5.8), получим
-UkLIok + RJok = bkMIk, ikLJok + RIok = -ikMJk,
-VkLhk + iJu + LA-f] + JkA-f] = 0, (1.5.10)
.ьл, + + ьА-Ч + 4 -Ч = 0.
Разрешая систему линейных уравнений (1.5.10) относительно неизвестных 1ок,Jok,Iik,Jik, получим
1ок = -ppkUkM - VkJkVkM, Jok = -vlJkUkM + PkhVkM,
hk = [vkUkL- + Vk-hUk - kL- - jA ir/,
Jik = -[vkUkL- + VkhUk + VkL- + JkVk-)A \
(1.5.11)
44 Глава 1. Описание электромеханических систем
Здесь симметричные ноложительно-онределенные матрицы Uk, Vk определены соотношениями
Uu = {ilL + RL-R)-\ Vu = {R + ilLR-L)-\
LVk=RUk, VkL = UkR. Осредненные уравнения второго приближения будут
i = eA-{Ov,
2 v\d
Уравнения (1.5.13) представляют собой уравнения движения исходной механической системы под действием сил
e{Qi) + e2(Q2), e{J{dM/d0io) + еЦЗ{дМ/д0н). Укажем свойства последних сил. Учитывая (1.5.10), (1.5.12), после преобразований получим
Из (1.5.11) следует, что вторая сумма в (1.5.14) равна нулю. Тогда Pi() можно представить как
Pi{0 = -{Wo), W = -ilLi. (1.5.15)
Таким образом, средние электромагнитные силы, вычисленные в первом приближении, потенциальны и потенциалом служит среднее значение энергии магнитного поля вихревых токов, найденное в том же приближении.
Вторые приближения к выражениям для средних электромагнитных сил при помош,и (1.5.11) преобразуются как
p.K.,)=(.(f)\)=
Iv /амчт 1 ,амчт
= -\Е(4 + HW - 24иМ)А-\ (1.5.16)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [ 12 ] 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 |