www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [ 13 ] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

sect;1.5. Асимптотическое преобразование 45

Учитывая, что гА~г] = дь матрицы

= + Jl){)\vu - 2.1ЩШиЩ (1.5.17)

симметричны, выражение еР2{С) можно представить как

-=( laquo;)-(ri: laquo;)-f.

Выражение для диссипативной функции Ф может быть записано также в виде квадратичной формы относительно скоростей изменения коэффициентов индукции

* = mTdm, D = \Y.{II + JI){Vu-2vIUuRUu). (1.5.19)

Таким образом вторые приближения к средним электромагнитным силам описывают laquo;формально диссипативные raquo; силы. Знак диссипативной функции зависит от соотношения между постоянными времени затухания собственного поля проводяш,его твердого тела и периодом изменения внешнего поля.

В силу соотношений (1.5.15), (1.5.18), (1.5.19) уравнения второго приближения (1.5.13) могут быть записаны в форме

/ 1 дА- дА 2 deg;)

V = ilvv + {Qi)) +еЦР.{,0 + {Q.)).

Здесь Л = {W{io)).

В наиболее важном случае, когда силы s{Qi) - потенциальные с потенциальной функцией П(), (например, моменты силы тяжести), первое приближение в осредненных уравнениях (1.5.13) описывает консервативную систему, движения которой могут быть качественно изменены силами следуюш,его порядка малости. Поэтому вторые приближения необходимы, чтобы иметь осредненные уравнения, описываю-ш,ие качественно определенные движения - затухаюш,ие или нараста-юш,ие колебания. При этом колебания затухают до малых амплитуд за время t Т/е.

Однако из обш,их теорем метода осреднения следует только, что выражения q = -\- Ui,p = iri-\- Vi аппроксимируют решения исходной системы (3.1.5) с ошибкой 0{е) на интервале t ~ Т/е. Поэтому таких теорем недостаточно для качественного анализа движений рассматриваемой системы, например, они не позволяют утверждать, что система стремится к квазистационарным движениям, когда силы е{Р2 + (Q2)) - диссипативные.



46 Глава 1. Описание электромеханических систем

Если силы трения, входящие в (Qi), достаточно велики и им можно приписать порядок г, то для анализа устойчивости квазиравновесия и исследования других движений достаточно первого приближения. Но в ряде приложений [70, 84] наблюдаются нарастающие колебания твердого тела, которые могут быть объяснены только неустойчивостью за счет раскачивающего характера сил еР2. Силам внеганего трения в таких случаях естественно приписывать порядок и выгае. В результате, вследствие потенциальности сил в первом приближении движение системы оказывается существенно зависящим от сил следующего порядка малости, в том числе от еР2.

В силу соотношений (1.5.18), (1.5.19)

eP2{U)=eB{0i (1-5.21)

где симметричная матрица В laquo;формально диссипативных raquo; сил Р2, вообще говоря, зависит от обобщенных координат. Таким образом, влияние магнитного поля на медленные движения приводит к появлению потенциальных сил в первом приближении и laquo;диссипативных raquo; во втором.

Рассмотрим систему (1.5.20) в первом приближении, т.е. без членов 0{е). Эта система консервативна и имеет функцию Гамильтона

Я= 7уА-()7у + гЛ + гП. (1.5.22)

Следуя НЗ, возьмем функцию V в виде V - Н/е.

Пусть система первого приближения имеет устойчивое положение равновесия. Оно будет окружено замкнутыми поверхностями V = = С = const. Пусть в положении равновесия Л = П = 0. Примем за Dl область, ограниченную двумя поверхностями 5((7i), 5((72), Ci gt; gt; C2j Ci, C2 = 0(1), из которых первая охватывает вторую. Производная V в силу уравнений (1.5.20) равна

V = -s\A-T]f{B + G){A-T]). (1.5.23)

Здесь G - матрица коэффициентов сил внешнего вязкого трения. Рассмотрим случай, когда матрица В положительна определена. Можно показать, что выполняется неравенство

у(((о) + т/г)) - V((t( deg;)) lt; -s-Wo. (1.5.24)

Действительно, если \r]{t)\ = 0(1), то в силу (1.5.23) приращение функции V на решении (t), T]{t) на любом промежутке времени At не больше, чем (-г(constAt). Если же /y(t - малая величина, то через время порядка

а(Л + П)х-1

At = const fsinfi)



sect;1.5. Асимптотическое преобразование 47

в соответствии со вторым уравнением (1.5.20) получим /y(t) = 0(1). Выбирая Т = skAt,k gt; 1, что влияет только на постоянную в оценке - () lt; сг, получим нужное неравенство.

Неравенство (1.5.23) и соотношение (1.5.22) выполняются при любом немалом €2- Это позволяет применить теорему 3 ПЗ. В результате получим, что любая фазовая траектория (t), 7y(t), оказавшаяся в области Di указанного выше вида, при достаточно малых г в конце концов попадет в некоторую малую окрестность положения равновесия и там останется. Этому соответствуют колебания исходной системы, качественно похожие на затухаюш,ие колебания, стремяш,иеся к квазистатическим.

Аналогично в случае, когда матрица суммарного трения отрицательно-определенная, будем иметь laquo;раскачиваюш,иеся raquo; колебания.

Матрица В зависит от . Поэтому возможен случай, когда вблизи положения равновесия суммарные непотенциальные силы sQ2 - sB будут laquo;раскачиваюш,ими raquo;, а вдали - диссипативными. В таких случаях возможен предельный цикл. По крайней мере, для случая одной механической степени свободы можно тем же путем показать, что (t) попадет в малую окрестность этого цикла. При этом колебания в случае периодической функции J{t) при больших t будут качественно похожи на квазипериодические, а движения системы будут похожими на затухаюш,ие или нарастаюш,ие колебания, стремяш,иеся к квазипериодическим. Заметим, однако, что суш,ествование точных квазипериодических решений в случаях, когда предельный цикл обнаруживается в высших приближениях, по-видимому, не доказано.

Рассмотрим зависимость сил гР2 от частоты поля и величины электрических сопротивлений. Предположим, что ток J{t) - гармонический, т.е. J{t) = Icosut + Jsinz/t. Сугцествует ортогональное преобразование вектора г, приводягцее матрицу L к единичной, а Л - к диагональной R = diag(Ai, Л2,...), где Ai lt; Л2 lt; - Матрицы U и V также станут диагональными, а выражаюш,аяся через них матрица D примет вид

(А?-г/2)Л1

D = diag

(1.5.25)

Отсюда видно, что при и lt; Xi матрица D будет положительно-определенной, т. е. если частота поля меньше первого собственного числа задачи о затухании электромагнитных процессов в теле, то средние электромагнитные силы во втором приближении будут диссипативными. При этом диссипация будет полной, когда коэффициенты матрицы взаимной индукции М невырожденным образом зависят от всех обоб-ш,енных координат.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [ 13 ] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118