www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [ 14 ] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

48 Глава 1. Описание электромеханических систем

Если же г/ gt; Al, то гР2 могут оказаться laquo;раскачивающими raquo;. Поскольку эти силы зависят от координат, то нри одних их значениях силы могут быть диссинативными, а нри других - раскачивающими. Это указывает на возможность автоколебаний. За счет малого внешнего трения автоколебания возможны и в случае, когда силы гР2 - раскачивающие нри всех значениях координат.

Из (1.5.20) следует также, что устранить раскачивающий эффект сил гР2 можно, уменьшая проводимость тела. Действительно, при уменьшении проводимости растут коэффициенты матрицы R и модули собственных чисел Ai, Л2,..., аналогично тому, как растут собственные частоты при увеличении жесткости. Отсюда следует, что в ряде случаев нагревание тела может устранить неустойчивость рассматриваемого типа.

После приведения матриц Яи Ьк диагональному виду выражение для сил sPi примет вид

Pi () = + Г)М {jyULU + VLV)M

= -{I + J) [Mdiag(,.. .)m] = -(/ + J2)(M7VM).

(1.5.26)

Сравнивая (1.5.25) и (1.5.26), можно в некоторых случаях указать способ устранения неустойчивости, вызванной силами гР2, сохраняя устойчивость равновесия по первому (потенциальному) приближению. Для тел типа кольца, плоской пластины и ряда других [84, 38] зависимость сил г Pi и гР2 от частоты качественно такая же, как и в случае, когда в матрицах 7V и М, приведенных к диагональному виду, отличен от нуля только один первый член. В этом случае первый член Nil диагональной матрицы N - монотонно возрастающая, а Мц - монотонно убывающая функция г/.

Пусть при требуемом для подвески тела, плавки и т. п. значении г/ равновесие в потенциальном приближении устойчиво, но неустойчиво за счет сил гР2- Пусть имеется возможность создать в контуре, генерирующем поле, кроме основного тока частоты г/ дополнительный ток меньшей частоты vi. Дополнительная сила sAPi{iyi) будет существенно меньше основной силы sPi{jy), и при подходящем выборе ui сохранится близкое к исходному устойчивое в первом приближении положение равновесия. Дополнительная диссипация при этом будет больше исходной, может иметь другой знак и стабилизировать равновесие.

В случае сверхпроводимости потенциальность средних электромагнитных сил в первом приближении можно доказать даже для системы.



sect;1.5. Асимптотическое преобразование 49

содержащей несколько твердых сверхпроводящих тел, и любого числа независимых заданных токов, создающих поле. Вместо (1.5.4) в этом случае получим

q = sA-{q)p,

Р = Ы Р2:Ц) +2 + (1.5.27)

(Li)4(J.M,y =0.

Здесь i - бесконечномерный вектор-столбец, составленный любым образом из векторов токов Фуко отдельных тел; L{q) - соответствующая матрица коэффициентов индукции, зависящая в случае нескольких взаимодействующих тел от их координат; индексом s отмечены заданные токи, создающие поле.

Рассмотрим для простоты случай, когда внешнее поле включается после перехода тел в сверхпроводящее состояние. Тогда потоки индукции через условные контуры в телах равны нулю, и система (1.5.27) имеет счетное множество интегралов, аналогичных циклическим

Li + JsMs =0. (1.5.28)

Исключая при помощи (1.5.28) токи

i = -L-iM,J, (1.5.29)

из уравнений движения в (1.5.27), придем к системе в стандартной форме. После осреднения этой системы получим выражение для средней электромагнитной силы в первом приближении

2 V

что доказывает потенциальность средних электромагнитных сил в первом приближении; потенциалом, как и ранее, служит среднее значение энергии поля токов Фуко (протекающих в данном случае только по поверхности тел).



50 Глава 1. Описание электромеханических систем

Вывод о потенциальности средних электромагнитных сил в первом приближении позволяет, в частности, упростить исследование вопроса о существовании и устойчивости квазистатических движений. В первом приближении таким движениям отвечают значения , удовлетворяющие уравнениям Pi{) + (Qi) = 0. Рассмотрим случай, когда механическая система состоит только из твердого тела, имеющего неподвижную точку, а силы Q складываются из силы тяжести (или иных потенциальных сил) и сил трения. В общем случае потенциал (Wo) зависит от всех трех обобщенных координат (углов). Как (Wq), так и потенциал, отвечающий laquo;потенциальной составляющей raquo; (Qi), являются периодическими функциями обобщенных координат. Поэтому суммарный потенциал непременно имеет минимум, т. е. твердое тело в быстронеременном магнитном поле, вообще говоря, обязательно имеет устойчивое в первом приближении по г положение квазиравновесия. Исключение составляют тела с разными видами симметрии, когда (Wo) зависит не от всех обобщенных координат.

sect; 1.6. Маятник в неременном магнитном ноле *)

В качестве примера электромеханической системы в переменном магнитном поле рассмотрим маятниковую систему, роль твердого тела в которой играет замкнутый контур тока, жестко соединенный с подвесом невесомым стержнем (рис. 1.3).

Предположим, что маятник находится в переменном однородном магнитном поле, частота которого г/ много больше, чем частота малых свободных колебаний маятника. Обозначим в угол отклонения маятника от вертикальной оси, принимая, что = О соответствует его нижнему положению. Выражения для кинетической энергии Т, энергии магнитного поля W и потенциальной энергии П имеют вид

Г = -10, W = -Lf -\- BoSsiniytsinOi,

2 2 (1.6.1)

П = ш/(1-cosi9),

где / - момент инерции контура относительно оси, проходящей через точку подвеса; т - масса контура; I - длина стержня; L - коэффициент самоиндукции контура тока i; Во - амплитуда внешнего поля.

Уравнения Лагранжа-Максвелла исследуемой электромеханической системы:

10 - BoS sin lyt cos О i -\- mql sin = 0,

(1.6.2)

Li- + BoS sin ut cos в в -\- BoSu cos ut sin в -\- Ri = 0.

*) Результаты этого параграфа получены совместно с М.С. Артемьевой.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [ 14 ] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118